no. 1
Sur la conjecture de Chudnovsky-Demailly et les singularités des hypersurfaces algébriques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 1, pp. 103-116.

Soit S une partie finie de P n , t un entier positif et ω t (S) le plus petit degré des hypersurfaces de P n ayant en chaque point de S une singularité de multiplicité ≥t. Un théorème d’existence de J.-P. Demailly concernant le prolongement des fonctions analytiques définies au voisinage d’une sous-variété linéaire de C n nous permet d’obtenir des minorations fines de ω t (S)/t pour tout t. En particulier, nous montrons

(ωt1(S)+n-a-1)/(t1+n-1)≤ωt(S)/t

où a est la dimension de l’ensemble des points singuliers non à croisements normaux du diviseur de P lorsque deg P=ω t (S). Ceci redonne le résultat de H. Esnault et E. Viehweg par une méthode analytique assez élémentaire et contribue à renforcer la vraisemblance de la conjecture de Chudnovsky-Demailly.

Let S be a finite set in the complex projective space P n , and t a posoitive integer and let ω t (S) be the smallest degree of hypersurfaces in P n having at each point of S a singularity of multiplicity ≥t. Thanks to an existence theorem due to J.-P. Demailly, relative to the extension of analaytic functions defined on a neighbourhood of a linear subvariety of C n , we obtain fine lower bounds on ω t (S)/t for every t. In particular we find:

(ωt1(S)+n-a-1)/(t1+n-1)≤ωt(S)/t

in which a is the dimension of the set of singular points of the divisor of P with non normal crossings, when degP=ω t (S). This gives an elementary analytic proof of H. Esnault and E. Viehweg’s result and gives substantial support to the Chudnovsky-Demailly conjecture.

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