no. 3
Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles
Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 737-752.

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries f ′ (z)=∑a(n)z n /n! telles que ∑a(n)x n est une série algébrique. Soit AE cet ensemble de fonctions. Si f appartient à AE, et si g(z) est un polynôme-exponentiel tel que h(z)=f(z)/g(z) est entière, alors il existe un polynôme P(z) tel que P(z)h(z) appartienne à AE.

L’autre résultat est parallèle au premier. Soit ∑u(n)x n une série algébrique à coefficients dans un corps 𝕂 (qui est soit 𝕂, soit un corps quadratique imaginaire). Soit ∑v(n)x n une série rationnelle à coefficients dans 𝕂. Avec quelques conditions restrictives sur la suite v(n), on montre que si a(n)=u(n)/v(n) est un entier de 𝕂 pour tout n, alors la série ∑a(n)x n est une série algébrique.

In this paper, we prove two results. The first is about power series f(z)=∑a(n)z n /n! such that ∑a(n)z n is an algebraic power series. Note by AE this set of functions. Let f in AE, g an exponential-polynomial, and suppose that h(z)=f(z)/g(z) is an entire functions. Then there exist a polynomial P such that P(z)h(z) belongs to AE.

The other result is the following. Let ∑u(n)x n be an algebraic power series, and ∑v(n)x n a rational power series with coefficients in 𝕂 (𝕂 is either ℚ, or a quadratic imaginary extension of ℚ). Suppose that a(n)=u(n)/v(n) is an algebraic integer of 𝕂 for all n. With some additional conditions on the sequence v(n), we show that ∑a(n)x n is also an algebraic power series.

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Bézivin, Jean-Pierre. Quotients de fonctions entières et quotients de Hadamard de séries formelles. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 3, pp. 737-752. doi : 10.5802/aif.1185. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1185/

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