Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur 2
Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 251-292.

L’espace de modules M=M(0,3) des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif 2 est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans M, les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface M. Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de M rencontre la frontière M, autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de M. La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel φ:M Gr de M dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de 2 , ce qui nous permet d’identifier M avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de M, description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de M ne rencontrant pas M et aboutir à une contradiction.

The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane 2 , denoted by M=M(0,3), is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In M, the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface M. In this article we show that all complete surfaces in M must meet the boundary M; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in M. The essential point of the proof is the construction of a birational morphism Φ:M, Gr from M to the grassmannian Gr of nets of conics in 2 ; this allows us to identify M with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of M and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in M which does not meet M. We then show that this value of the fundamental class can not arise.

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Hulek, K.; Potier, Joseph Le. Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb {P}}_2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 251-292. doi : 10.5802/aif.1167. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1167/

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