no. 2
Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ℙ 2
Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 251-292.

L’espace de modules M=M(0,3) des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif ℙ 2 est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans M, les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface ∂M. Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de M rencontre la frontière ∂M, autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de M. La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel φ:M→ Gr de M dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de ℙ 2 , ce qui nous permet d’identifier M avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de M, description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de M ne rencontrant pas ∂M et aboutir à une contradiction.

The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane ℙ 2 , denoted by M=M(0,3), is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In M, the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface ∂M. In this article we show that all complete surfaces in M must meet the boundary ∂M; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in M. The essential point of the proof is the construction of a birational morphism Φ:M→, Gr from M to the grassmannian Gr of nets of conics in ℙ 2 ; this allows us to identify M with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of M and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in M which does not meet ∂M. We then show that this value of the fundamental class can not arise.

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Hulek, K.; Potier, Joseph Le. Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb {P}}_2$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 251-292. doi : 10.5802/aif.1167. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1167/

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