Silovscher Rand und Dirichletsches Problem
Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 89-136.

On montre d’abord l’existence de la frontière de S ˇilov ∂ E X d’un espace compact X par rapport à un ensemble E assez général de fonctions numériques semi-continues inférieurement dans X ; on introduit aussi une frontière de Choquet partout dense dans ∂ E X. Ensuite on étudie un problème de Dirichlet abstrait : on se donne un espace compact X et un espace vectoriel H de fonctions continues réelles dans X ; on construit une certaine complétion H ^ de H. Le problème de Dirichlet abstrait est alors de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que toute fonction continue réelle dans ∂ H X puisse être prolongée en une fonction de H ^.

Cette théorie permet plusieurs applications : Application au problème de Dirichlet classique ; on montre en outre que l’ensemble des points réguliers d’un ouvert relativement compact dans R n est une frontière de Choquet. Caractérisation, par des propriétés intrinsèques, des simplexes de G. Choquet dont l’ensemble des points extrémaux est fermé. Application au problème de Dirichlet pour les fonctions harmoniques discrètes. Étude de la frontière de S ˇilov d’un espace compact par rapport à une algèbre de fonctions continues à valeurs complexes.

@article{AIF_1961__11__89_0,
     author = {Bauer, Heinz},
     title = {Silovscher {Rand} und {Dirichletsches} {Problem}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {89--136},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {11},
     year = {1961},
     doi = {10.5802/aif.110},
     zbl = {0098.06902},
     mrnumber = {25 #443},
     language = {de},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.110/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bauer, Heinz
TI  - Silovscher Rand und Dirichletsches Problem
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1961
SP  - 89
EP  - 136
VL  - 11
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.110/
DO  - 10.5802/aif.110
LA  - de
ID  - AIF_1961__11__89_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bauer, Heinz
%T Silovscher Rand und Dirichletsches Problem
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1961
%P 89-136
%V 11
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.110/
%R 10.5802/aif.110
%G de
%F AIF_1961__11__89_0
Bauer, Heinz. Silovscher Rand und Dirichletsches Problem. Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 89-136. doi : 10.5802/aif.110. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.110/

[1] R. Arens and I. M. Singer, Function values as boundary integrals, Proc. Amer. Math. Soc., 5, 1954, 735-745. | MR | Zbl

[2] G. Aumann, Über die Erweiterung von additiven monotonen Funktionen auf regulär geordneten Halbgruppen, Arch. der Math., 8, 1957, 422-427. | MR | Zbl

[3] H. Bauer, Un problème de Dirichlet pour la frontière de Šilov d'un espace compact, C. r. Acad. Sci. Paris, 247, 1958, 843-846. | Zbl

[4] H. Bauer, Frontière de Šilov et problème de Dirichlet, Séminaire de Théorie du potentiel, 3, 1958-1959, n° 7, 23 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam

[5] H. Bauer, Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte II, Arch. der Math., 11, 1960, 200-205. | MR | Zbl

[6] H. Bauer, Une axiomatique du problème de Dirichlet pour certaines équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques, C. r. Acad. Sci. Paris, 250, 1960, 2672-2674. | MR | Zbl

[7] G. Birkhoff, Lattice theorie, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 25, New York, 1948. | MR | Zbl

[8] E. Bishop and K. De Leeuw, The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points, Ann. Inst. Fourier, 9, 1959, 305-331. | Numdam | MR | Zbl

[9] E. Bishop, A minimal boundary for function algebras, Pacific Journ. Math., 9, 1959, 629-642. | MR | Zbl

[10] G. Bouligand, Fonctions harmoniques. Principes de Picard et de Dirichlet, Mém. Sci. Math., 11, Paris, 1926. | JFM | Numdam

[11] N. Bourbaki, Algèbre, Chap. VI-VII, Actual. sci. et industr., 1179, Paris, 1952. | Zbl

[12] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chap. I-II, Actual. sci. et industr., 1189, Paris, 1953. | Zbl

[13] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chap. III-V, Actual. sci. et industr., 1299, Paris, 1955.

[14] N. Bourbaki, Intégration, Chap. I-IV, Actual. sci. et industr., 1175, Paris, 1952. | Zbl

[15] N. Bourbaki, Intégration, Chap. V, Actual. Sci. et industr., 1244, Paris, 1956.

[16] M. Brelot, Familles de Perron et problème de Dirichlet, Acta Szeged, 9, 1939, 133-153. | JFM | MR | Zbl

[17] M. Brelot, Une axiomatique générale du problème de Dirichlet dans les espaces localement compacts, Séminaire de Théorie du potentiel, 1, 1956-1957, n° 6, 16 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam

[18] M. Brelot, Axiomatique des fonctions harmoniques et surharmoniques dans un espace localement compact, Séminaire de Théorie du potentiel, 2, 1957-1958, n° 1, 40 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam

[19] M. Brelot, Sur un théorème de prolongement fonctionnel de Keldych concernant le problème de Dirichlet, Journal d'Analyse Math., Jérusalem (erscheint demnächst). | Zbl

[20] H. J. Bremermann, On a generalized Dirichlet problem for plurisubharmonic functions and pseudoconvex domains. Characterisation of Šilov boundaries, Trans. Amer. Math. Soc., 91, 1959, 246-276. | MR | Zbl

[21] G. Choquet, Existence et unicité des représentations intégrales au moyen des points extrémaux dans les cônes convexes, Séminaire Bourbaki, Déc. 1956, n° 139, 15 p. (Institut H. Poincaré, Paris). | Numdam | MR | Zbl

[22] G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, 5, 1953, 131-295. | Numdam | MR | Zbl

[23] G. Choquet et J. Deny, Ensembles semi-réticulés et ensembles réticulés de fonctions continues, J. Math. pur. appl., 36 (9e série), 1957, 179-189. | MR | Zbl

[24] M. M. Day, Normed linear spaces, Ergebnisse der Math., 21 (Neue Folge), Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1958. | MR | Zbl

[25] I. Gelfand, D. Raikov and G. Šilov, Commutative normed rings, Usp. Mat. Nauk SSSR, N. S. 2, 1946, 48-146. | Zbl

[26] H. A. Heilbronn, On discrete harmonic functions, Proc. Cambridge philos. Soc., 45, 1949, 194-206. | MR | Zbl

[27] S. Kakutani, Concrete representation of abstract (M-)spaces, Ann. of Math., 42, 1941, 994-1024. | Zbl

[28] M. V. Keldych, On the solubility and the stability of Dirichlet's problem (russisch), Usp. Mat. Nauk SSSR, 8, 1941, 172-231. | Zbl

[29] J. G. Kemeny and J. L. Snell, Semimartingales of Markov chains, Ann. Math. Statistics, 29, 1958, 143-154. | MR | Zbl

[30] V. L. Klee Jr., Extremal structure of convex sets II, Math. Zeitschr., 69, 1958, 90-104. | MR | Zbl

[31] S. Matsushita, Théorème de Krein-Milman et le balayage de mesures dans la théorie du potentiel I-III, Proc. Japan. Acad., 31, 1955, 643-647 ; 32, 1956, 29-34 ; 32, 1956, 125-130. | MR | Zbl

[32] S. Matsushita, On the foundation of balayage theory, J. Inst. Polytech. Osaka City Univ., Ser. A, 9, 1958, 59-86. | MR | Zbl

[33] D. P. Milman, Characteristics of extremal points of regularly compact sets (russisch), Dokl. Akad. Nauk SSSR, N. S. 57, 1947, 119-122. | Zbl

[34] F. Vasilesco, Sur les singularités des fonctions harmoniques, J. Math. pur. appl., 9 (9e série), 1930, 81-111. | JFM

[35] J. Wermer, On algebras of continuous functions, Proc. Amer. Math. Soc., 4, 1953, 866-869. | MR | Zbl

[36] J. Wermer, Subalgebras of the algebra of all complex-valued continuous functions on the circle, Amer. J. Math., 78, 1956, 225-242. | MR | Zbl

Cité par Sources :