no. 2
Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines
Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 79-104.

Soit K un compact polynomialement convexe de C n et V K son “potentiel logarithmique extrémal” dans C n . Supposons que K est régulier (i.e. V K continue) et soit f une fonction holomorphe sur un voisinage de K. On construit alors une suite {P ℓ } ℓ≥1 de polynôme de n variables complexes avec deg(P ) ≤ℓ pour ℓ≥1, telle que l’erreur d’approximation max z∈K |f(z)-P ℓ (z)| soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de f par rapport à K et du degré de convergence ℓ. Ce résultat est ensuite utilisé pour étendre à C n un résultat classique de S.N. Bernstein liant le prolongement analytique d’une fonction continue sur K par une fonction entière d’ordre et de type donnés au comportement asymptotique de l’erreur de la meilleure approximation polynomiale de f sur K.

Let K be a polynomially convex compact set of C n and V K its “logarithmic extremal potential” in C n . Suppose that K is regular (e.g. V K continuous) and let f be a holomorphic function on a neightborhood of K. We construct a sequence {P ℓ } ℓ≥1 of polynomials in n complex variables with deg(P ) ≤ℓ for every ℓ≥1, such that the approximation error max z∈K |f(z)-P ℓ (z)| is estimated in terms of the “pseudoradius of convergence” of f with respect to K and the degree of convergence ℓ. This result is then used to extend to C n the classical S.N. Bernstein’s result relating the prolongation of a continuous function on K by an entire function of given order and type to the best polynomial approximation error of f on K.

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Zeriahi, Ahmed. Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines. Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 79-104. doi : 10.5802/aif.1087. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1087/

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