no. 1
Translation invariant forms on L p (G)(1<p<∞)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 1, pp. 97-104.

Soit G un groupe abélien compact métrisable et connexe. On démontre que toute forme linéaire invariante sur L p (G), 1<p<∞, est continue et donc un multiple scalaire de la mesure de Haar. Ce résultat étend un théorème dû à Meisters et Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407–424), pour l’espace L 2 (G). En fait la méthode s’applique à n’importe quel treillis invariant superréflexif de fonctions sur G, et c’est ce point de vue qu’on adopte. Nous étudions la représentation d’une fonction f dans cet espace fonctionnel X (f de moyenne nulle) comme somme finie d’éléments g-τ(a)g pour g∈X et a∈G où τ(a) est l’opérateur de translation. Notre approche consiste à borner certaines opérateurs de convolution aléatoires par des méthodes d’interpolation.

It is shown that if G is a connected metrizable compact Abelian group and 1<p<∞, any (possibly discontinuous) translation invariant linear form on L p (G) is a scalar multiple of the Haar measure. This result extends the theorem of G.H. Meisters and W.M. Schmidt (J. Funct. Anal. 13 (1972), 407-424) on L 2 (G). Our method permits in fact to consider any superreflexive translation invariant Banach lattice on G, which is the adopted point of view. We study the representation of an element f of this invariant lattice X as a sum of a bounded number of elements of the form g-τ(a)g, where g in X, a in G and τ(a) the corresponding translation operator. Our approach consists in proving the boundedness of certain random convolution operators using interpolation techniques.

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Bourgain, Jean. Translation invariant forms on $L^p(G)(1

[1] A. Connes, Private communication.

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[4] G.H. Meisters, W.M. Schmidt, Translation invariant linear forms on L²(G) for compact Abelian group G, J. Funct. Anal., n° 13, (1972), 407-424. | Zbl

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[6] J. Bergh, J. Lofström, Interpolation Spaces. | Zbl

Cité par Sources :