Embeddings of finite groups in $B_n/\Gamma _k(P_n)$ for $k=2,3$

Lima Gonçalves, Daciberg; Guaschi, John; Ocampo, Oscar

doi:10.5802/aif.3380

Embeddings of finite groups in

B_{n} / Γ_{k} (P_{n})

for

k = 2, 3

[Plongements de groupes finis dans

B_{n} / Γ_{k} (P_{n})

pour

k = 2, 3

]

Lima Gonçalves, Daciberg ¹ ; Guaschi, John ² ; Ocampo, Oscar ³

¹ Departamento de Matemática – IME-USP Rua do Matão 1010 CEP: 05508-090 – São Paulo – SP (Brazil)
² Normandie Univ., UNICAEN, CNRS, LMNO 14000 Caen (France)
³ Universidade Federal da Bahia Departamento de Matemática – IME Av. Adhemar de Barros S/N CEP: 40170-110 – Salvador – BA (Brazil)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 5, pp. 2005-2025.

Résumé
Abstract

Soient $n \geq 3$ et $k \in \{2, 3\}$ . Nous étudions le plongement d’un groupe fini donné $G$ dans le quotient $B_{n} / Γ_{k} (P_{n})$ , où $B_{n}$ est le $n^{e}$ groupe de tresses d’Artin, ${\{Γ_{l} (P_{n})\}}_{l \in ℕ}$ est la série centrale descendante du $n^{e}$ groupe de tresses pures $P_{n}$ , et $|G|$ désigne l’ordre de $G$ . Si un tel plongement existe, on sait que pgcd $(|G|, k!) = 1$ . Si $G$ est un groupe fini pour lequel pgcd $(|G|, k!) = 1$ , nous montrons dans cet article que $G$ se plonge dans $B_{|G|} / Γ_{k} (P_{|G|})$ . Si $k = 2$ , ce résultat a été démontré indépendamment par Beck et Marin. Si $G = ℤ_{p^{r}} ⋊_{θ} ℤ_{d}$ , où l’action $θ$ est injective, $p$ est un nombre premier impair, $p \geq 5$ si $k = 3$ , et $d$ divise $p - 1$ et vérifie pgcd $(d, k!) = 1$ , nous montrons que $G$ se plonge dans $B_{p^{r}} / Γ_{k} (P_{p^{r}})$ . Si $k = 2$ , c’est un cas particulier d’un autre résultat de Beck et Marin. Nous construisons également des plongements explicites des deux groupes non-abéliens d’ordre $27$ dans $B_{9} / Γ_{2} (P_{9})$ .

Let $n \geq 3$ and $k \in \{2, 3\}$ . We study the embedding of a given finite group $G$ in the quotient $B_{n} / Γ_{k} (P_{n})$ , where $B_{n}$ is the $n$ ^th Artin braid group, ${\{Γ_{l} (P_{n})\}}_{l \in ℕ}$ is the lower central series of the $n$ ^th pure braid group $P_{n}$ , and $|G|$ denotes the order of $G$ . If such an embedding exists, it is known that $gcd (|G|, k!) = 1$ . In this paper, we show that if $G$ is a finite group for which $gcd (|G|, k!) = 1$ , then $G$ embeds into $B_{|G|} / Γ_{k} (P_{|G|})$ . If $k = 2$ , the result was proved independently by Beck and Marin. If $G = ℤ_{p^{r}} ⋊_{θ} ℤ_{d}$ , where the action $θ$ is injective, $p$ is an odd prime, $p \geq 5$ if $k = 3$ , and $d$ divides $p - 1$ and satisfies $gcd (d, k!) = 1$ , we show that $G$ embeds into $B_{p^{r}} / Γ_{k} (P_{p^{r}})$ . If $k = 2$ , this is a special case of another result of Beck and Marin. We also construct explicit embeddings in $B_{9} / Γ_{2} (P_{9})$ of the two non-Abelian groups of order $27$ .

Reçu le : 2018-10-28
Révisé le : 2019-04-09
Accepté le : 2019-05-21
Publié le : 2021-04-15

DOI : 10.5802/aif.3380

Classification : 20F36, 20F18, 20F14, 20B35, 16S34
Keywords: Braid groups, quotients, embedding of finite groups
Mot clés : Groupes de tresses, quotients, plongement de groupes finis

Affiliations des auteurs :

Lima Gonçalves, Daciberg ¹ ; Guaschi, John ² ; Ocampo, Oscar ³

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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