no. 1
Surface Projective Convexe de volume fini
Marquis, Ludovic 1
1 tabacckludge ’Ecole Normale Supérieure de Lyon Unité de Mathématiques Pures et Appliquées 46, allée d’Italie 69364 Lyon Cedex 07 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 1, pp. 325-392.

Une surface projective convexe est le quotient d’un ouvert proprement convexe Ω de l’espace projectif réel ℙ 2 (ℝ) par un sous-groupe discret Γ de SL 3 (ℝ). Nous donnons plusieurs caractérisations du fait qu’une surface projective convexe est de volume fini pour la mesure de Busemann. On en déduit que si Ω n’est pas un triangle alors Ω est strictement convexe, à bord 𝒞 1 et qu’une surface projective convexe S est de volume fini si et seulement si la surface duale est de volume fini.

A convex projective surface is the quotient of a properly convex open Ω of the projective real space ℙ 2 (ℝ) by a discrete subgroup Γ of SL 3 (ℝ). We give some caracterisations of the fact that a convex projective surface is of finite volume for the Busemann’s measure. We deduce that, if Ω is not a triangle, then Ω is strictly convex, with 𝒞 1 boundary and that a convex projective surface S is of finite volume if and only if the dual surface is of finite volume.

DOI : 10.5802/aif.2707
Classification : 57M50, 52C20, 22E40
Mots-clés : surface, géométrie de Hilbert, géométrie hyperbolique, réseau, sous-groupes discrets des groupes de Lie
Keywords: Surface, Hilbert’s geometry, Hyperbolic geometry, Lattice, Discrete subgroup of Lie group

Marquis, Ludovic  1

1 tabacckludge ’Ecole Normale Supérieure de Lyon Unité de Mathématiques Pures et Appliquées 46, allée d’Italie 69364 Lyon Cedex 07 (France) 
@article{AIF_2012__62_1_325_0,
     author = {Marquis, Ludovic },
     title = {Surface {Projective} {Convexe} de volume fini},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {325--392},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {62},
     number = {1},
     year = {2012},
     doi = {10.5802/aif.2707},
     mrnumber = {2986273},
     zbl = {1254.57015},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2707/}
}
TY  - JOUR
AU  - Marquis, Ludovic 
TI  - Surface Projective Convexe de volume fini
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2012
SP  - 325
EP  - 392
VL  - 62
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2707/
DO  - 10.5802/aif.2707
LA  - fr
ID  - AIF_2012__62_1_325_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Marquis, Ludovic 
%T Surface Projective Convexe de volume fini
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2012
%P 325-392
%V 62
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2707/
%R 10.5802/aif.2707
%G fr
%F AIF_2012__62_1_325_0
Marquis, Ludovic . Surface Projective Convexe de volume fini. Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 1, pp. 325-392. doi : 10.5802/aif.2707. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2707/

[1] Benoist, Yves Automorphismes des cônes convexes, Invent. Math., Volume 141 (2000), pp. 149-193 | DOI | MR

[2] Benoist, Yves Convexes hyperboliques et fonctions quasisymétriques, Publ. Math. IHES, Volume 97 (2003), pp. 181-237 | DOI | Numdam | MR

[3] Benoist, Yves Convexes hyperpoliques et quasiisométries, Geometriae Dedicata, Volume 122 (2006), pp. 109-134 | DOI | MR

[4] Benoist, Yves Sous-groupes discrets des groupes de Lie, European Summer School in Group Theory Luminy (7-18 July 1997)

[5] Benzécri, Jean-Paul Sur les variétés localement affines et localement projectives, Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 88 (1960), pp. 229-332 | Numdam | MR | Zbl

[6] Borel, Armand Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces, Topology, Volume 2 (1963), pp. 111-122 | DOI | MR | Zbl

[7] Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei A course in metric geometry, Graduate Studies in Mathematics, 33, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 | MR

[8] Choi, Suhyoung Convex decompositions of real projective surfaces. II : Admissible decompositions, J. Differential Geom, Volume 40 (1994), pp. 239-283 | MR | Zbl

[9] Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin; Verovic, Patrick L’aire des triangles idéaux en géométrie de Hilbert, L’enseignement mathématique, Volume 50 (2004), pp. 203-237 | MR

[10] Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin; Verovic, Patrick Area of ideal triangles and gromov hyperbolicity in hilbert geometry, A paraître

[11] Goldman, William Convex real projective structures on compact surfaces, J. Differential Geom., Volume 31 (1990), pp. 791-845 | MR | Zbl

[12] Johnson, D.; Millson, John Deformation spaces associated to compact hyperbolic manifolds, Discrete groups in Geometry and Analysis Progr. Math, Volume 67 (1984), pp. 48-106 | MR | Zbl

[13] Kac, Victor; Vinberg, Ernest Borisovich Quasi-homogeneous cones, Math. Notes, Volume 1 (1967), pp. 231-235 | DOI | Zbl

[14] Kapovich, Misha Convex projective structures on Gromov-Thurston manifolds, Geometry and Topology, Volume 11 (2007), pp. 1777-1830 | DOI | MR

[15] Lee, Jaejeong Convex fundamental domains for properly convex real projective structures (preprint)

[16] Marquis, Ludovic Espace de Modules Marqués des Surfaces Projectives Convexes de Volume Fini (preprint arxiv.org/abs/0910.5839)

[17] Richards, Ian On the classification of noncompact surfaces, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 106 (1963), pp. 259-269 | DOI | MR | Zbl

[18] Vey, Jacques Sur les automorphismes affines des ouverts convexes saillants, Anna Scuola Normale Superiore di Pisa, Volume 24 (1970), pp. 641-665 | Numdam | MR | Zbl

[19] Vinberg, Èrnest Borisovich The theory of convex homogeneous cones, Trudy Moskov. Mat. Obšč., Volume 12 (1963), pp. 303-358 | MR | Zbl

[20] Vinberg, Èrnest Borisovich The structure group of automorphisms of a homogeneous convex cone, Trudy Moskov. Mat. Obšč., Volume 13 (1965), pp. 56-81 | MR | Zbl

Cité par Sources :