Which weakly ramified group actions admit a universal formal deformation?
Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 3, p. 877-902
Consider a representation of a finite group G as automorphisms of a power series ring k[[t]] over a perfect field k of positive characteristic. Let D be the associated formal mixed-characteristic deformation functor. Assume that the action of G is weakly ramified, i.e., the second ramification group is trivial. Example: for a group action on an ordinary curve, the action of a ramification group on the completed local ring of any point is weakly ramified.We prove that the only such D that are not pro-representable occur if k has characteristic two and G is of order two or isomorphic to a Klein group. Furthermore, we show that only the first of those has a non-pro-representable equicharacteristic deformation functor.
Nous considérons une répresentation d’un groupe fini G d’automorphismes d’un anneau de séries formelles k[[t]] sur un corps parfait k de caractéristique positive. Soit D le foncteur associé des déformations formelles en caractéristique mixte. Supposons que l’action de G est faiblement ramifiée, c.-à-d. que le second groupe de ramification est trivial. Exemple : pour une action d’un groupe sur une courbe ordinaire, l’action d’un groupe de ramification sur l’anneau local complèté d’un point quelconque est faiblement ramifiée.On démontre que les seuls tels foncteurs D qui ne sont pas pro-répresentables se produisent lorsque k est de caractéristique 2 et G est ou bien d’ordre 2, ou bien isomorphe au groupe de Klein. On démontre également que seulement le premier de ces groupes a un foncteur de déformations equicaractéristiques non-pro-répresentable.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2450
Classification:  14B12,  11G20,  14D15
Keywords: Local group action, weak ramification, formal deformation, universality, Nottingham group
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Which weakly ramified group actions admit a universal formal deformation?. Annales de l'Institut Fourier, Volume 59 (2009) no. 3, pp. 877-902. doi : 10.5802/aif.2450. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2009__59_3_877_0/

[1] Barr, Michael; Wells, Charles Toposes, triples and theories, Repr. Theory Appl. Categ. (2005) no. 12, pp. x+288 pp. (electronic) (Corrected reprint of the 1985 original [MR0771116]) | MR 2178101 | Zbl 1081.18006

[2] Bertin, José; Mézard, Ariane Déformations formelles des revêtements sauvagement ramifiés de courbes algébriques, Invent. Math., Tome 141 (2000) no. 1, pp. 195-238 | Article | MR 1767273 | Zbl 0993.14014

[3] Bourbaki, N. Éléments de mathématique. Part I. Les structures fondamentales de l’analyse. Livre II. Algèbre. Chapitre I. Structures algébriques, Hermann et Cie., Paris, Actual. Sci. Ind., no. 934 (1942) | MR 11070 | Zbl 0060.06808

[4] Byszewski, Jakub Dévissage for local deformation functors (preprint 2008)

[5] Cornelissen, Gunther; Kato, Fumiharu Equivariant deformation of Mumford curves and of ordinary curves in positive characteristic, Duke Math. J., Tome 116 (2003) no. 3, pp. 431-470 | Article | MR 1958094 | Zbl 1092.14032

[6] Cornelissen, Gunther; Kato, Fumiharu Zur Entartung schwach verzweigter Gruppenoperationen auf Kurven, J. Reine Angew. Math., Tome 589 (2005), pp. 201-236 | Article | MR 2194683 | Zbl 1084.14030

[7] Cornelissen, Gunther; Mézard, Ariane Relèvements des revêtements de courbes faiblement ramifiés, Math. Z., Tome 254 (2006) no. 2, pp. 239-255 | Article | MR 2262702 | Zbl 1108.14024

[8] Dokchitser, Tim Quotients of functors of Artin rings (Preprint arXiv:math/0511514, 2005, to appear in Proc. Cam. Phil. Soc)

[9] Fantechi, Barbara; Manetti, Marco Obstruction calculus for functors of Artin rings. I, J. Algebra, Tome 202 (1998) no. 2, pp. 541-576 | Article | MR 1617687 | Zbl 0981.13009

[10] Grothendieck, Alexander Technique de descente et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. II. Le théorème d’existence en théorie formelle des modules, Séminaire Bourbaki, Vol. 5, Soc. Math. France, Paris (1995), pp. Exp. No. 195, 369-390 | Numdam | Zbl 0234.14007

[11] Mazur, Barry An introduction to the deformation theory of Galois representations, Modular forms and Fermat’s last theorem (Boston, MA, 1995), Springer, New York (1997), pp. 243-311 | MR 1638481 | Zbl 0901.11015

[12] Nakajima, Shōichi p-ranks and automorphism groups of algebraic curves, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 303 (1987) no. 2, pp. 595-607 | MR 902787 | Zbl 0644.14010

[13] Du Sautoy, Marcus; Segal, Dan; Shalev, Aner New horizons in pro- p groups, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, Progress in Mathematics, Tome 184 (2000) | MR 1765115 | Zbl 0945.00009

[14] Schlessinger, Michael Functors of Artin rings, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 130 (1968), pp. 208-222 | Article | MR 217093 | Zbl 0167.49503

[15] Sernesi, Edoardo Deformations of algebraic schemes, Springer-Verlag, Berlin, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Tome 334 (2006) | MR 2247603 | Zbl 1102.14001