no. 4
Pénalisations de l’araignée brownienne
Najnudel, Joseph1
1Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 175, rue du Chevaleret 75013 Paris France
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1063-1093

Dans cet article, nous pénalisons la loi d’une araignée brownienne (A t ) t≥0 prenant ses valeurs dans un ensemble fini E de demi-droites concourantes, avec un poids égal à 1 Z t exp(α N t X t +γL t ), où t est un réel positif, (α k ) k∈E une famille de réels indexés par E, γ un paramètre réel, X t la distance de A t à l’origine, N t (∈E) la demi-droite sur laquelle se trouve A t , L t le temps local de (X s ) 0≤s≤t à l’origine, et Z t la constante de normalisation. Nous montrons que la famille des mesures de probabilité obtenue par ces pénalisations converge vers une probabilité limite quand t tend vers l’infini, et nous étudions quelques propriétés de cette probabilité limite.

In this paper, we penalize a Walsh Brownian motion (A t ) t≥0 (also called Brownian spider), which takes values in a finite set E of intersecting rays, with a weight equal to 1 Z t exp(α N t X t +γL t ), where t is a positive real, (α k ) k∈E a family of real numbers indexed by E, γ a real parameter, X t the distance from A t to the origin, N t (∈E) the ray on which A t is to be found, X t the local time of (A s ) 0≤s≤t at the origin, and Z t the normalization constant. We show that the family of probability measures obtained by these penalizations converges to a limit probability measure as t tends to infinity, and we study some properties of this limit probability measure.

DOI : 10.5802/aif.2287
Classification : 60B10, 60J65, 60G17, 60G44, 60J25, 60J55
Mots-clés : pénalisation, temps local, araignée brownienne
Keywords: penalization, local time, Walsh Brownian motion

Najnudel, Joseph  1

1 Université Pierre et Marie Curie Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires 175, rue du Chevaleret 75013 Paris France 
Najnudel, Joseph. Pénalisations de l’araignée brownienne. Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 4, pp. 1063-1093. doi: 10.5802/aif.2287
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[1] Barlow, M.; Pitman, J.; Yor, M. On Walsh’s Brownian motions, Séminaire de Probabilités, XXIII (Lecture Notes in Math.), Volume 1372, Springer, Berlin, 1989, pp. 275-293 | Zbl | Numdam

[2] Barlow, M.; Pitman, J.; Yor, M. Une extension multidimensionnelle de la loi de l’arc sinus, Séminaire de Probabilités, XXIII (Lecture Notes in Math.), Volume 1372, Springer, Berlin, 1989, pp. 294-314 | Zbl | Numdam

[3] Cherny, A.-S.; Shiryaev, A.-N. Some Distributional Properties of a Brownian Motion with a Drift and an Extension of P. Lévy’s Theorem, Theory of Probab. and Its Applications, Volume 44 (2000) no. 2, pp. 412-418 | DOI | Zbl

[4] Hariya, Y.; Yor, M. Limiting distributions associated with moments of exponential Brownian functionals, Studia Sci. Math. Hungar., Volume 41 (2004) no. 2, pp. 193-242 | Zbl | MR

[5] Karatzas, I.; Shreve, S.-E. Brownian motion and stochastic calculus, Graduate Texts in Mathematics, 113, Springer-Verlag, New York, 1988 | Zbl | MR

[6] Pitman, J. The distribution of local times of a Brownian bridge, Séminaire de Probabilités, XXXIII (Lecture Notes in Math.), Volume 1709, Springer, Berlin, 1999, pp. 388-394 | Zbl | MR | Numdam

[7] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Limiting laws associated with Brownian motion perturbated by normalized exponential weights, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 337 (2003) no. 10, pp. 667-673 | Zbl | MR

[8] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Limiting laws for long Brownian bridges perturbed by their one-sided maximum. III, Period. Math. Hungar., Volume 50 (2005) no. 1-2, pp. 247-280 | DOI | Zbl | MR

[9] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Limiting laws associated with Brownian motion perturbed by its maximum, minmum and local time. II, Studia Sci. Math. Hungar., Volume 43 (2006) no. 3, pp. 295-360 | Zbl | MR

[10] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Pénalisations et quelques extensions du théorème de Pitman, relatives au mouvement brownien et à son maximum unilatère, Séminaire de Probabilités, XXXIX (Lecture Notes in Math.), Volume 1874, Springer, 2006, pp. 305-336 | Zbl | MR

[11] Roynette, B.; Vallois, P.; Yor, M. Some penalisations of the Wiener measure, Jap. Journal of Math., Volume 1 (2006), pp. 263-290 | DOI | Zbl | MR

[12] Walsh, J.-B. A diffusion with a discontinuous local time, Temps Locaux, Astérisque, Volume 52–53 (1978), pp. 37-45

Cité par Sources :