Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de p  [ The Riesz-Raikov-Bourgain theorem for an algebraic endomorphism of p  ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 1, p. 45-126
The classical Riesz-Raikov theorem states that, for any integer θ>1 and any f of L 1 (𝕋), where 𝕋=/, the averages1N1Nf(θnx)convergeto𝕋f(t)dtfor almost every point x of . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) has proved that the preceding convergence takes place for any algebraic number θ>1 and any f of L 2 (𝕋). In this paper we prove that, for any endomorphism ϕ of  p algebraic on , whose proper values all have modulus >1, for any f of L 2 (𝕋 p ), the averages 1/N 1 N f(ϕ n x) converge to 𝕋 p f(t)dt for almost every point x of p . We follow and adapt J.Bourgain’s arguments as developed in the above mentioned paper.
Le théorème classique de Riesz-Raikov assure que, pour tout entier θ>1 et toute f de L 1 (𝕋), où 𝕋=/, les moyennes1N1Nf(θnx)convergentvers𝕋f(t)dtpour presque tout point x de . J.Bourgain (cf.Israël Math. Conf. Proc. 1990) a prouvé que la convergence précédente a lieu pour tout réel algébrique θ>1 et toute f de L 2 (𝕋). Dans cet article nous prouvons que, si ϕ est un endomorphisme de  p algébrique sur , dont les valeurs propres sont toutes de module >1, alors pour toute f de L 2 (𝕋 p ), les moyennes (1/N) 1 N f(ϕ n x) convergent vers 𝕋 p f(t)dt pour presque tout point x de p . Nous suivons et adaptons les arguments développés par J.Bourgain dans l’article précité.
DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2252
Classification:  47A35,  11D61,  42B05
Keywords: Riesz-Raikov Theorem, Hopf maximal ergodic theorem, zero multiplicity of linear recurrence sequences, almost orthogonality, Fourier series and maximal inequalities
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     author = {Lootgieter, Jean-Claude},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Le théorème de Riesz-Raikov-Bourgain pour un endomorphisme algébrique de ${\mathbb{R}}^p$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 1, pp. 45-126. doi : 10.5802/aif.2252. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2007__57_1_45_0/

[1] Bourgain, J. The Riesz-Raikov theorem for algebraic numbers, Israël Mathematical Conference Proceedings, Weizmann, Tome 3 (1990), pp. 1-45 | MR 1159107 | Zbl 0729.11038

[2] Garsia, A. Topics in almost everywhere convergence, Lectures in Advanced Math., Markham Publ. Co., Tome 4 (1970) | MR 261253 | Zbl 0198.38401

[3] Jessen, B. On the approximation of ebesgue integrals by Riemann sums, Annals of Math., Tome 35 (1934), pp. 248-251 | Article | MR 1503159 | Zbl 0009.30603

[4] Lech, C. A note on recurring series, Ark. Mat., Band 2, Tome 22 (1952), pp. 417-421 | MR 56634 | Zbl 0051.27801

[5] Raikov, M. On some arimetical properties of summable functions, Math. Sbornik (NS), Tome 1 (1936), pp. 377-383 | Zbl 0014.39701

[6] Riesz, M. Sur la théorie ergodique, Comm. Math. Helv., Tome 17 (1945), pp. 22-239 | MR 14218 | Zbl 0063.06500

[7] Schlickewei, H. P. Multiplicities of recurrence sequences, Acta Math., Tome 176 (1996), pp. 171-243 | Article | MR 1397562 | Zbl 0880.11016

[8] Schmidt, W. M. The zero multiplicity of linear recurrence sequences, Acta Math., Tome 182 (1999), pp. 243-282 | Article | MR 1710183 | Zbl 0974.11013