no. 1
Espaces mesurés singuliers fortement ergodiques (Étude métrique–mesurée)
Pichot, Mikaël1
1 Unité de Mathématiques Pures et Appliquées Unité Mixte de Recherche CNRS 5669, 46, allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 1-43.

D’après le théorème de Jones-Schmidt, une relation d’équivalence ergodique est fortement ergodique si et seulement si elle ne possède pas de quotient moyennable non trivial. Nous donnons dans cet article deux nouvelles caractérisations de l’ergodicité forte, en termes d’espaces métriques-mesurés. La première identifie ergodicité forte et concentration de la mesure (définie dans ce cadre dans [22]). La seconde caractérise l’existence de quotients moyennables non triviaux par la présence de « suites de Følner évanescentes » dans les structures de graphes associées aux relations d’équivalence.

Nous présentons également une formalisation du concept de quasi-périodicité, reposant sur la théorie de la mesure. Les « espaces mesurés singuliers » apparaissant dans le titre font référence aux espaces de classes d’une relation d’équivalence mesurée.

We recall Jones-Schmidt’s theorem which shows that an ergodic measured equivalence relation is strongly ergodic if and only if it has no nontrivial amenable quotient. In this paper, we give two new characterizations of strong ergodicity, in terms of metric-measured spaces. The first one identifies strong ergodicity with the concentration property as defined, in this (foliated) setting, by Gromov [22]. The second one characterizes the existence of nontrivial amenable quotients in terms of “vanishing Følner sequences” in graphs naturally associated to (the leaf space of) the equivalence relation.

We also present a formalization of the concept of quasi-periodicity, based on measure theory. The “singular measured spaces” appearing in the title refer to the leaf spaces of measured equivalence relations.

DOI : 10.5802/aif.2251
Classification : 37A20, 50C25
Mot clés : relations d’équivalence mesurées, espaces singuliers, ergodicité forte, concentration.
Keywords: Measured equivalence relations, singular spaces, strong ergodicity, concentration.
Pichot, Mikaël 1

1 Unité de Mathématiques Pures et Appliquées Unité Mixte de Recherche CNRS 5669, 46, allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07 (France) 
@article{AIF_2007__57_1_1_0,
     author = {Pichot, Mika\"el},
     title = {Espaces mesur\'es singuliers fortement ergodiques {(\'Etude} m\'etrique{\textendash}mesur\'ee)},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--43},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {57},
     number = {1},
     year = {2007},
     doi = {10.5802/aif.2251},
     mrnumber = {2313085},
     zbl = {1147.37005},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2251/}
}
TY  - JOUR
AU  - Pichot, Mikaël
TI  - Espaces mesurés singuliers fortement ergodiques (Étude métrique–mesurée)
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2007
SP  - 1
EP  - 43
VL  - 57
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2251/
DO  - 10.5802/aif.2251
LA  - fr
ID  - AIF_2007__57_1_1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Pichot, Mikaël
%T Espaces mesurés singuliers fortement ergodiques (Étude métrique–mesurée)
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2007
%P 1-43
%V 57
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2251/
%R 10.5802/aif.2251
%G fr
%F AIF_2007__57_1_1_0
Pichot, Mikaël. Espaces mesurés singuliers fortement ergodiques (Étude métrique–mesurée). Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 1, pp. 1-43. doi : 10.5802/aif.2251. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2251/

[1] Anantharaman-Delaroche, C.; Renault, J. Amenable groupoids, Groupoids in analysis, geometry, and physics (Boulder, CO, 1999) (2001) no. 282, pp. 35-46 | MR | Zbl

[2] Barré, S.; Pichot, M. Immeubles triangulaires quasi-périodiques (en préparation)

[3] Barré, S.; Pichot, M. Trivialité du groupe d’automorphismes d’un immeuble triangulaire générique (en préparation)

[4] Bellissard, J. The noncommutative geometry of aperiodic solids, World Sci. Publishing, Villa de Leyva, 2001, River Edge, NJ, 2003 no. 282 | MR | Zbl

[5] Cantwell, J.; Conlon, L. Generic leaves, Comment. Math. Helv., Volume 73 (1998), pp. 306-336 | DOI | MR | Zbl

[6] Champetier, C. L’espace des groupes de type fini, Topology, Volume 39 (2000) no. 4, pp. 657-680 | DOI | MR | Zbl

[7] Connes, A. Une classification des facteurs de type III, Ann. Sci. École Normale Sup. 4ème Série, Volume 6, fasc 2 (1973), pp. 133-252 | Numdam | MR | Zbl

[8] Connes, A. Sur la théorie non commutative de l’intégration, Algèbres d’opérateurs, Lecture Notes in Math., Volume 725 (1979), pp. 19-143 | DOI | MR | Zbl

[9] Connes, A. Non commutative geometry, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994 | Zbl

[10] Connes, A. On the foundation of noncommutative geometry (2004) (Notes de la conférence NCGOA)

[11] Connes, A.; Feldman, J.; Weiss, B. An amenable equivalence relation is generated by a single transformation, Ergod. Th. & Dynam. Sys. (1981) no. 1, pp. 431-450 | MR | Zbl

[12] Connes, A.; Krieger, W. Measure space automorphisms, the normalizers of their full groups, and approximate finiteness, J. Functional Analysis, Volume 24 (1977), pp. 336-352 | DOI | MR | Zbl

[13] Connes, A.; Weiss, B. Property T and asymptotically invariant sequences, Israel J. Math., Volume 37 (1980) no. 3, pp. 209-210 | DOI | MR | Zbl

[14] Dixmier, J. Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien (algèbres de von Neumann), Gauthier-Villars Éditeurs, Paris, 1969 | MR | Zbl

[15] Feldman, J.; Moore, C. Ergodic equivalence relations, cohomology, and von Neumann algebras. I,II, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 234 (1977) no. (2), pp. 289-359 | DOI | MR | Zbl

[16] Furman, A. Gromov’s measure equivalence and rigidity of higher rank lattices, Ann. of Math., Volume (2) 150 (1999) no. 3, pp. 1059-1081 | DOI | MR | Zbl

[17] Gaboriau, D. Coût des relations d’équivalence et des groupes, Invent. Math., Volume 139 (2000) no. 1, pp. 41-98 | DOI | MR | Zbl

[18] Gaboriau, D. Invariants l 2 de relations d’équivalence et de groupes, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. (2002) no. 95, pp. 93-150 | Numdam | MR | Zbl

[19] Gaboriau, D.; Popa, S. An uncountable family of non orbit equivalent actions of F n (2004) (prépublication)

[20] Ghys, É. Topologie des feuilles génériques, Ann. of Math., Volume 141 (1995), pp. 387-422 | DOI | MR | Zbl

[21] Gromov, M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhaüser Boston Inc., 1999 | MR | Zbl

[22] Gromov, M. Spaces and questions, Special Volume (Tel Aviv, 1999), Part I (2000), pp. 118-161 | MR | Zbl

[23] Haefliger, A. Naissance des feuilletages, d’Ehresmann-Reeb à Novikov (prépublication)

[24] Haefliger, A. Structures feuilletées et cohomologie à valeurs dans un faisceau de groupoïdes, Comment. Math. Helv., Volume 32 (1958), pp. 248-329 | DOI | MR | Zbl

[25] Hjorth, G.; Kechris, A.S. Rigidity theorems for actions of product groups and countable Borel equivalence relations (2002) (prépublication)

[26] J. Feldman, P. Hahn; Moore, C. C. Orbit structure and countable sections for actions of continuous groups, Adv. in Math., Volume 28 (1978), pp. 186-230 | DOI | MR | Zbl

[27] Jackson S., Kechris A. S.; Louveau, A. Countable borel equivalence relations, J. Math. Log., Volume 2 (2002) no. 1, pp. 1-80 | DOI | MR | Zbl

[28] Jones, V. F. R.; Schmidt, K. Asymptotically invariant sequences and approximate finiteness, Amer. J. Math., Volume 109 (1987) no. 1, pp. 91-114 | DOI | MR | Zbl

[29] del Junco, A.; Rosenblatt, J. Conterexample in ergodic theory and number theory, Math. Ann., Volume 245 (1979) no. 1, pp. 185-197 | DOI | MR | Zbl

[30] Kaimanovich, V. A. Amenability, hyperfiniteness, and isoperimetric inequalities, C. R. Acad. Sci. Paris Sér I Math., Volume 325 (1997) no. 1, pp. 999-1004 | DOI | MR | Zbl

[31] Kakutani, S. Induced measure preserving transformations, Proc. Imp. Acad. Tokyo 19 (1943), pp. 635-641 | DOI | MR | Zbl

[32] Losert, V.; Rindler, H. Almost invariant sets, Bull. London Math. Soc., Volume 13 (1981) no. 2, pp. 145-148 | DOI | MR | Zbl

[33] Mackey, G. W. Ergodic theory and virtual groups, Math. Ann., Volume 166 (1966), pp. 187-207 | DOI | MR | Zbl

[34] Ornstein, D.; Weiss, B. Ergodic theory of amenable group action I. The Rohlin lemma, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 2 (1980) no. 1, pp. 161-164 | DOI | MR | Zbl

[35] Pestov, V. G. Amenable representations and dynamics of the unit sphere in an infinite-dimensional Hilbert space, Geom. Funct. Anal., Volume 10 (2000) no. 5, pp. 1171-1201 | DOI | MR | Zbl

[36] Pichot, M. Sur la théorie spectrale des relations d’équivalence mesurées (prépublication)

[37] Pichot, M. Quasi-périodicité et théorie de la mesure, ENS, Lyon (2005) (Ph. D. Thesis)

[38] Ramsay, A. Topologies on measured groupoids, J. Funct. Anal., Volume 47 (1982), pp. 314-343 | DOI | MR | Zbl

[39] Rosenblatt, J. Uniqueness of invariant means for measure preserving transformations, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 265 (1981), pp. 623-636 | DOI | MR | Zbl

[40] Schmidt, K. Asymptotically invariant sequences and an action of SL(2,ℤ) on the 2-sphere, Israel J. Math., Volume 37 (1980), pp. 193-208 | DOI | MR | Zbl

[41] Schmidt, K. Amenability, Kazhdan’s property T, strong ergodicity and invariant means for ergodic group action, Erg. Th. and Dyn. Systems, Volume 1 (1981), pp. 233-236 | MR | Zbl

Cité par Sources :