no. 2
Nombre de rotation, mesures invariantes et ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle
Liousse, Isabelle1
1 Université de Lille I, UFR de Mathématiques, laboratoire P. Painlevé, 59655 Villeuneuve d'Ascq cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 431-482.

Etant donné α irrationnel de type constant, nous donnons des conditions explicites et génériques sur les pentes d’un homéomorphisme f affine par morceaux du cercle de nombre de rotation α, qui garantissent que la mesure de probabilité f-invariante est singulière par rapport à la mesure de Haar. Cet article contient une preuve élémentaire d’un résultat de E. Ghys et V. Sergiescu : ”le nombre de rotation d’un homéomorphisme dyadique est rationnel”. Nous y étudions aussi le ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle.

We give explicit and generic conditions on slopes of a PL circle homeomorphism f with given constant type irrational rotation number which guarantee that the f-invariant probability measure is singular with respect to the Haar measure. We present an elementary proof of a theorem of Ghys and Sergiescu result: ”dyadic circle homeomorphisms have rational rotation number. Ratio set of PL circle homeomorphisms is also studied.

DOI : 10.5802/aif.2103
Classification : 37E10, 37C15
Mot clés : homéomorphisme affine par morceaux, cercle, nombre de rotation, mesure invariante, ratio set
Keywords: PL homeomorphism, circle, rotation number, invariant measure, ratio set

Liousse, Isabelle 1

1 Université de Lille I, UFR de Mathématiques, laboratoire P. Painlevé, 59655 Villeuneuve d'Ascq cedex (France) 
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Liousse, Isabelle. Nombre de rotation, mesures invariantes et ratio set des homéomorphismes affines par morceaux du cercle. Annales de l'Institut Fourier, Tome 55 (2005) no. 2, pp. 431-482. doi : 10.5802/aif.2103. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2103/

[Bo] M. Boshernitzan Dense orbits of rationals, Proc. AMS, Volume 117 (1993) no. 4, pp. 1201-1203 | DOI | MR | Zbl

[CLR] Z. Coelho; A. Lopez; L.F. da Rocha Absolutely continuous invariant measures for a class of affine interval interval exchange maps, Proc. AMS, Volume 123 (1995), pp. 3533-3542 | DOI | MR | Zbl

[De] A. Denjoy Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. Math. Pures Appl., Volume 11 (1932), pp. 333-375 | JFM

[DK] A.A. Dzhalilov; K.M. Khanin On invariant measure for homeomorphisms of a circle with a break point, Funct. Anal. Appl., Volume 32 (1998) no. 3, pp. 153-161 | DOI | MR | Zbl

[Dy] H.A. Dye On groups of measure preserving transformations, Amer. J. Math., Volume I: 81, II:85 (1959, 1963), p. 119-159, 551-576 | Zbl

[Fi] A. Finzi Sur le problème de la génération d'une transformation donnée d'une courbe fermée, par une transformation infinitésimale, Ann. Sci. École Norm. Sup., 3e série, Volume 67 (1950), pp. 243-305 | Numdam | MR | Zbl

[GhSe] E. Ghys; V. Sergiescu Sur un groupe remarquable de difféomorphismes du cercle, Comm. Math. Helv., Volume 62 (1987), pp. 185-239 | DOI | MR | Zbl

[GrSw] J. Graczyk; G. Swiatek Singular measures in circle dynamics, Comm. Math. Phys., Volume 157 (1993), pp. 213-230 | DOI | MR | Zbl

[He1] M. Herman Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, IHÉS Publ. Math., Volume 49 (1979), pp. 5-233 | Numdam | MR | Zbl

[He2] M. Herman Sur les difféomorphismes du cercle de nombre de rotation de type constant (Conference on Harmonic Analysis in Honor of A. Zygmund), Volume II (1981), pp. 708-725 | Zbl

[HK] B. Hasselblatt; A. Katok Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of mathematics, CUP, 1995 | MR | Zbl

[Ka1] Y. Katznelson Sigma-finite invariant measures for smooth mappings of the circle, J. Anal. Math., Volume 31 (1977), pp. 1-18 | DOI | MR | Zbl

[Ka2] Y. Katznelson The action of diffeomorphism of the circle on the Lebesgue measure, J. Anal. Math., Volume 36 (1979), pp. 156-166 | DOI | MR | Zbl

[KO1] Y. Katznelson; D. Ornstein The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle, Erg. Th. Dyn. Syst., Volume 9 (1989), pp. 643-680 | MR | Zbl

[KO2] Y. Katznelson; D. Ornstein The absolute continuity of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle, Erg. Th. Dyn. Syst., Volume 9 (1989), pp. 681-690 | MR

[Kr] W. Krieger On non-singular transformations of a measure space I, II, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, Volume 11 (1969), p. 83-97, 98-119 | DOI | MR | Zbl

[KS] K. Khanin; Ya. Sinai Smoothness of conjugacies of diffeomorphisms of the circle with rotations, Russian Math. Surveys, Volume 44 (1989), pp. 69-99 | DOI | MR | Zbl

[KW] Y. Katznelson; B. Weiss The classification of non singular actions, revisted, Erg. Th. Dyn. Syst., Volume 11 (1991), pp. 333-348 | MR | Zbl

[Li] I. Liousse PL homeomorphisms that are piecewise C 1 conjugate to irrational rotations (à paraître dans Bull. Brazil. Math. Soc.) | Zbl

[LM] I. Liousse; H. Marzougui Échanges d'intervalles affines conjugués à des linéaires, Erg. Th. Dyn. Syst., Volume 22 (2002), pp. 535-554 | MR | Zbl

[Po] H. Poincaré Œuvres compl`etes, Volume 1, pp. 137-158

[Yo] J.-C. Yoccoz Il n'y a pas de contre-exemple de Denjoy analytique, C.R.A.S., série I, Volume 298 (1984) no. 7 | MR | Zbl

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