Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I)
[Systèmes de Gauss-Manin, réseaux de Brieskorn et structures de Frobenius (I)]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 4, pp. 1055-1116.

Nous associons à tout polynôme de Laurent f commode et non dégénéré par rapport à son polyèdre de Newton sur le tore complexe ( * ) n une structure de Frobenius-Saito canonique sur la base de son déploiement universel. En suivant la méthode de K. Saito (formes primitives) et de M. Saito (bonnes bases du système de Gauss-Manin), le problème principal, qui est résolu dans cet article, consiste en l’analyse du système de Gauss- Manin de f (ou de son déploiement universel) et de la théorie de Hodge correspondante.

We associate to any convenient nondegenerate Laurent polynomial f on the complex torus ( * ) n a canonical Frobenius-Saito structure on the base space of its universal unfolding. According to the method of K. Saito (primitive forms) and of M. Saito (good basis of the Gauss-Manin system), the main problem, which is solved in this article, is the analysis of the Gauss-Manin system of f (or its universal unfolding) and of the corresponding Hodge theory.

DOI : 10.5802/aif.1974
Classification : 32S40, 32S30, 32G34, 32G20, 34Mxx
Keywords: Gauss-Manin system, Brieskorn lattice, Frobenius manifold
Mots-clés : système de Gauss-Manin, réseau de Brieskorn, variété de Frobenius

Douai, Antoine 1 ; Sabbah, Claude 2

1 Université de Nice, Laboratoire J.A. Dieudonné, UMR 6621 du CNRS, Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2 (France)
2 École Polytechnique, Centre de mathématiques, 91128 Palaiseau Cedex (France)
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Douai, Antoine; Sabbah, Claude. Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I). Annales de l'Institut Fourier, Tome 53 (2003) no. 4, pp. 1055-1116. doi : 10.5802/aif.1974. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1974/

[1] B. Abdel-Gadir Applications of Grauert-Remmert A and B theorems (1997) (Prépublication Institut Fourier, Grenoble)

[2] B. Abdel-Gadir On the Fourier analysis of holonomic 𝒟-modules (1997) (Prépublication Institut Fourier, Grenoble)

[3] S. Barannikov Semi-infinite Hodge structures and mirror symmetry for projective spaces (2000) (e-print, math.AG/0010157)

[4] A. Borel (ed.) Algebraic 𝒟-modules, Perspectives in Math., vol. 2, Academic Press, Boston, 1987 | MR | Zbl

[5] A. Borel Algebraic 𝒟-modules, Volume Chap. VI-IX, pp. 207-352

[6] L. Boutet de Monvel; A. Douady; J.-L. Verdier (eds.) Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique (Progress in Math.), Volume 37 (1983)

[7] T. Brélivet Topologie des polynômes, spectre et variance du spectre (juin 2002) (Thèse, Université de Bordeaux I)

[8] J. Briançon; M. Granger; Ph. Maisonobe; M. Miniconi Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein: cas non dégénéré, Ann. Inst. Fourier, Volume 39 (1989) no. 3, pp. 553-610 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[9] E. Brieskorn Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen, Manuscripta Math., Volume 2 (1970), pp. 103-161 | DOI | MR | Zbl

[10] S. A. Broughton Milnor number and the topology of polynomial hypersurfaces, Invent. Math., Volume 92 (1988), pp. 217-241 | DOI | MR | Zbl

[11] R.-O. Buchweitz; G.-M. Greuel Milnor number and deformation of complex curve singularities, Invent. Math., Volume 58 (1980), pp. 241-281 | DOI | MR | Zbl

[12] P. Deligne Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math., vol. 163, Springer-Verlag, 1970 | MR | Zbl

[13] A. Dimca; F. Maaref; C. Sabbah; M. Saito Dwork cohomology and algebraic 𝒟-modules, Math. Ann., Volume 318 (2000) no. 1, pp. 107-125 | DOI | MR | Zbl

[14] A. Dimca; M. Saito Algebraic Gauss-Manin systems and Brieskorn modules, Amer. J. Math., Volume 123 (2001) no. 1, pp. 163-184 | DOI | MR | Zbl

[15] A. Douai Très bonnes bases du réseau de Brieskorn d'un polynôme modéré, Bull. Soc. Math. France, Volume 127 (1999), pp. 255-287 | Numdam | MR | Zbl

[16] A. Douai Notes sur les systèmes de Gauss-Manin algébriques et leurs transformés de Fourier (2002) (Prépublication no 640, Université de Nice, janvier)

[17] A. Douai; C. Sabbah Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (II) (2002) (Preprint) | MR | Zbl

[18] B. Dubrovin; (M. Francaviglia \& S. Greco, eds.) Geometry of 2D topological field theory, Integrable systems and quantum groups (Lect. Notes in Math.), Volume vol. 1260 (1996), pp. 120-348 | Zbl

[19] F. El Zein Théorie de Hodge des cycles évanescents, Ann. Sci. École Normale Sup., 4e série, Volume 19 (1986), pp. 107-184 | Numdam | MR | Zbl

[20] A. Galligo; J.-M. Granger; Ph. Maisonobe (eds.) Systèmes différentiels et singularités, Astérisque, vol. 130, Soc. Math. France, 1985 | MR

[21] M. Granger; Ph. Maisonobe A basic course on differential modules, Éléments de la théorie des systèmes différentiels, pp. 103-168 | Zbl

[22] C. Hertling Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 151, Cambridge University, 2002 | MR | Zbl

[23] C. Hertling; Yu.I. Manin Weak Frobenius manifolds, Internat. Math. Res. Notices (1999), pp. 277-286 | DOI | MR | Zbl

[24] K. Hori; C. Vafa Mirror Symmetry (2000) (e-print, hep-th/0002222)

[25] M. Kashiwara On the holonomic systems of differential equations II, Invent. Math., Volume 49 (1978), pp. 121-135 | DOI | MR | Zbl

[26] B. Kaup Coherent 𝒟-modules, Algebraic 𝒟-modules, Volume Chap. II, pp. 109-127

[27] A. Khovanskii; A.N. Varchenko Asymptotics of integrals over vanishing cycles and the Newton polyhedron, Soviet Math. Dokl., Volume 32 (1985), pp. 122-127 | Zbl

[28] A.G. Kouchnirenko Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Invent. Math., Volume 32 (1976), pp. 1-31 | DOI | MR | Zbl

[29] Ph. Maisonobe; C. Sabbah (eds.) Images directes et constructibilité, Les cours du CIMPA, Travaux en cours, Volume vol. 46 (1993)

[30] Ph. Maisonobe; C. Sabbah (eds.) 𝒟-modules cohérents et holonomes, Les cours du CIMPA, Travaux en cours, Volume vol. 45 (1993)

[31] B. Malgrange Le faisceau des opérateurs différentiels, Séminaire opérateurs différentiels (1975)

[32] B. Malgrange Déformations de systèmes différentiels et microdifférentiels, Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique, pp. 351-379 | Zbl

[33] B. Malgrange Deformations of differential systems II, J. Ramanujan Math. Soc., Volume 1 (1986), pp. 3-15 | MR | Zbl

[34] B. Malgrange Regular connexions after Deligne, Algebraic 𝒟-modules, Volume Chap IV, pp. 151-172

[35] B. Malgrange Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Math., vol. 96, Birkhäuser, Basel, Boston, 1991 | MR | Zbl

[36] B. Malgrange; (L. Boutet de Monvel, ed.) Filtration des modules holonomes, Analyse algébrique des perturbations singulières. Travaux en cours, Volume vol. 48, no 2 (1994), pp. 35-41 | Zbl

[37] B. Malgrange Connexions méromorphes II: le réseau canonique, Invent. Math., Volume 124 (1996), pp. 367-387 | DOI | MR | Zbl

[38] B. Malgrange; (M. Morimoto \& T. Kawai, eds.) On the extension of holonomic systems, Structure of solutions of differential equations, Katata-Kyoto 1995 (1996), pp. 279-285 | Zbl

[39] Yu.I. Manin Frobenius manifolds, quantum cohomology and moduli spaces (Colloquium Publ.), Volume vol. 47 (1999) | Zbl

[40] Z. Mebkhout Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les 𝒟-modules cohérents, Travaux en cours, vol. 35, Hermann, Paris, 1989 | MR | Zbl

[41] Z. Mebkhout Le théorème de comparaison entre cohomologies de de Rham d'une variété algébrique complexe et le théorème d'existence de Riemann, Publ. Math. I.H.E.S., Volume 69 (1989), pp. 47-89 | Numdam | MR | Zbl

[42] Z. Mebkhout; L. Narváez-Macarro Le théorème de constructibilité de Kashiwara, Éléments de la théorie des systèmes différentiels, pp. 47-98 | Zbl

[43] Z. Mebkhout; C. Sabbah 𝒟-modules et cycles évanescents, Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les 𝒟-modules cohérents, Volume Chap. III.4, pp. 201-239

[44] A. Némethi; C. Sabbah Semicontinuity of the spectrum at infinity, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 69 (1999), pp. 25-35 | DOI | MR | Zbl

[45] A. Némethi; A. Zaharia On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 26 (1990), pp. 681-689 | DOI | MR | Zbl

[46] T. Oda K. Saito's period map for holomorphic functions with isolated singularities, Algebraic Geometry, Sendai 1985 (Advanced Studies in Pure Math.), Volume 10 (1987), pp. 591-648 | Zbl

[47] F. Pham Singularités des systèmes de Gauss-Manin, Progress in Math., vol. 2, Birkhäuser, Basel, Boston, 1980

[48] F. Pham Vanishing homologies and the n variable saddlepoint method, Singularities (Proc. of Symposia in Pure Math.), Volume vol. 40 (1983), pp. 319-333 | Zbl

[49] F. Pham La descente des cols par les onglets de Lefschetz avec vues sur Gauss-Manin, Systèmes différentiels et singularités, pp. 11-47 | Zbl

[50] C. Sabbah Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings, Expo. Math., Volume 16 (1998), pp. 1-58 | MR | Zbl

[51] C. Sabbah Monodromy at infinity and Fourier transform, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 33 (1998), pp. 643-685 | DOI | MR | Zbl

[52] C. Sabbah Hypergeometric period for a tame polynomial, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 328 (1999), pp. 603-608 | DOI | MR | Zbl

[53] C. Sabbah Équations différentielles à points singuliers irréguliers et phénomène de Stokes en dimension 2, Astérisque, vol. 263, Soc. Math. France, Paris, 2000 | MR | Zbl

[54] C. Sabbah Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, Savoirs Actuels, CNRS Éditions \& EDP Sciences, Paris, 2002 | MR | Zbl

[55] K. Saito The higher residue pairings K F (k) for a family of hypersurfaces singular points, Singularities (Proc. of Symposia in Pure Math.), Volume vol. 40 (1983), pp. 441-463 | Zbl

[56] K. Saito Period mapping associated to a primitive form, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 19 (1983), pp. 1231-1264 | DOI | MR | Zbl

[57] M. Saito Exponents and Newton polyhedra of isolated hypersurface singularities, Math. Ann., Volume 281 (1988), pp. 411-417 | DOI | MR | Zbl

[58] M. Saito On the structure of Brieskorn lattices, Ann. Inst. Fourier, Volume 39 (1989) no. 1, pp. 27-72 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[59] M. Saito Mixed Hodge Modules, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 26 (1990), pp. 221-333 | DOI | MR | Zbl

[60] M. Saito Period mapping via Brieskorn modules, Bull. Soc. Math. France, Volume 119 (1991), pp. 141-171 | Numdam | MR | Zbl

[61] P. Schapira Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985 | MR | Zbl

[62] P. Schapira; J.-P. Schneiders Index theorem for elliptic pairs, Astérisque, vol. 224, Soc. Math. France, Paris, 1994 | Zbl

[63] J. Scherk; J.H.M. Steenbrink On the mixed Hodge structure on the cohomology of the Milnor fiber, Math. Ann., Volume 271 (1985), pp. 641-655 | DOI | MR | Zbl

[64] J.H.M. Steenbrink; S. Zucker Variation of mixed Hodge structure I, Invent. Math., Volume 80 (1985), pp. 489-542 | DOI | MR | Zbl

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