We associate to any convenient nondegenerate Laurent polynomial on the complex torus a canonical Frobenius-Saito structure on the base space of its universal unfolding. According to the method of K. Saito (primitive forms) and of M. Saito (good basis of the Gauss-Manin system), the main problem, which is solved in this article, is the analysis of the Gauss-Manin system of (or its universal unfolding) and of the corresponding Hodge theory.
Nous associons à tout polynôme de Laurent commode et non dégénéré par rapport à son polyèdre de Newton sur le tore complexe une structure de Frobenius-Saito canonique sur la base de son déploiement universel. En suivant la méthode de K. Saito (formes primitives) et de M. Saito (bonnes bases du système de Gauss-Manin), le problème principal, qui est résolu dans cet article, consiste en l’analyse du système de Gauss- Manin de (ou de son déploiement universel) et de la théorie de Hodge correspondante.
Keywords: Gauss-Manin system, Brieskorn lattice, Frobenius manifold
Mot clés : système de Gauss-Manin, réseau de Brieskorn, variété de Frobenius
Douai, Antoine 1; Sabbah, Claude 2
@article{AIF_2003__53_4_1055_0, author = {Douai, Antoine and Sabbah, Claude}, title = {Gauss-Manin systems, {Brieskorn} lattices and {Frobenius} structures {(I)}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {1055--1116}, publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier}, volume = {53}, number = {4}, year = {2003}, doi = {10.5802/aif.1974}, zbl = {1079.32016}, mrnumber = {2033510}, language = {en}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1974/} }
TY - JOUR AU - Douai, Antoine AU - Sabbah, Claude TI - Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I) JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2003 SP - 1055 EP - 1116 VL - 53 IS - 4 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1974/ DO - 10.5802/aif.1974 LA - en ID - AIF_2003__53_4_1055_0 ER -
%0 Journal Article %A Douai, Antoine %A Sabbah, Claude %T Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I) %J Annales de l'Institut Fourier %D 2003 %P 1055-1116 %V 53 %N 4 %I Association des Annales de l’institut Fourier %U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1974/ %R 10.5802/aif.1974 %G en %F AIF_2003__53_4_1055_0
Douai, Antoine; Sabbah, Claude. Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I). Annales de l'Institut Fourier, Volume 53 (2003) no. 4, pp. 1055-1116. doi : 10.5802/aif.1974. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1974/
[1] Applications of Grauert-Remmert A and B theorems (1997) (Prépublication Institut Fourier, Grenoble)
[2] On the Fourier analysis of holonomic -modules (1997) (Prépublication Institut Fourier, Grenoble)
[3] Semi-infinite Hodge structures and mirror symmetry for projective spaces (2000) (e-print, math.AG/0010157)
[4] Algebraic -modules, Perspectives in Math., vol. 2, Academic Press, Boston, 1987 | MR | Zbl
[5] Algebraic -modules, Volume Chap. VI-IX, pp. 207-352
[6] Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique (Progress in Math.), Volume 37 (1983)
[7] Topologie des polynômes, spectre et variance du spectre (juin 2002) (Thèse, Université de Bordeaux I)
[8] Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein: cas non dégénéré, Ann. Inst. Fourier, Volume 39 (1989) no. 3, pp. 553-610 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[9] Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen, Manuscripta Math., Volume 2 (1970), pp. 103-161 | DOI | MR | Zbl
[10] Milnor number and the topology of polynomial hypersurfaces, Invent. Math., Volume 92 (1988), pp. 217-241 | DOI | MR | Zbl
[11] Milnor number and deformation of complex curve singularities, Invent. Math., Volume 58 (1980), pp. 241-281 | DOI | MR | Zbl
[12] Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math., vol. 163, Springer-Verlag, 1970 | MR | Zbl
[13] Dwork cohomology and algebraic -modules, Math. Ann., Volume 318 (2000) no. 1, pp. 107-125 | DOI | MR | Zbl
[14] Algebraic Gauss-Manin systems and Brieskorn modules, Amer. J. Math., Volume 123 (2001) no. 1, pp. 163-184 | DOI | MR | Zbl
[15] Très bonnes bases du réseau de Brieskorn d'un polynôme modéré, Bull. Soc. Math. France, Volume 127 (1999), pp. 255-287 | Numdam | MR | Zbl
[16] Notes sur les systèmes de Gauss-Manin algébriques et leurs transformés de Fourier (2002) (Prépublication no 640, Université de Nice, janvier)
[17] Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (II) (2002) (Preprint) | MR | Zbl
[18] Geometry of 2D topological field theory, Integrable systems and quantum groups (Lect. Notes in Math.), Volume vol. 1260 (1996), pp. 120-348 | Zbl
[19] Théorie de Hodge des cycles évanescents, Ann. Sci. École Normale Sup., 4e série, Volume 19 (1986), pp. 107-184 | Numdam | MR | Zbl
[20] Systèmes différentiels et singularités, Astérisque, vol. 130, Soc. Math. France, 1985 | MR
[21] A basic course on differential modules, Éléments de la théorie des systèmes différentiels, pp. 103-168 | Zbl
[22] Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 151, Cambridge University, 2002 | MR | Zbl
[23] Weak Frobenius manifolds, Internat. Math. Res. Notices (1999), pp. 277-286 | DOI | MR | Zbl
[24] Mirror Symmetry (2000) (e-print, hep-th/0002222)
[25] On the holonomic systems of differential equations II, Invent. Math., Volume 49 (1978), pp. 121-135 | DOI | MR | Zbl
[26] Coherent -modules, Algebraic -modules, Volume Chap. II, pp. 109-127
[27] Asymptotics of integrals over vanishing cycles and the Newton polyhedron, Soviet Math. Dokl., Volume 32 (1985), pp. 122-127 | Zbl
[28] Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Invent. Math., Volume 32 (1976), pp. 1-31 | DOI | MR | Zbl
[29] Images directes et constructibilité, Les cours du CIMPA, Travaux en cours, Volume vol. 46 (1993)
[30] -modules cohérents et holonomes, Les cours du CIMPA, Travaux en cours, Volume vol. 45 (1993)
[31] Le faisceau des opérateurs différentiels, Séminaire opérateurs différentiels (1975)
[32] Déformations de systèmes différentiels et microdifférentiels, Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique, pp. 351-379 | Zbl
[33] Deformations of differential systems II, J. Ramanujan Math. Soc., Volume 1 (1986), pp. 3-15 | MR | Zbl
[34] Regular connexions after Deligne, Algebraic -modules, Volume Chap IV, pp. 151-172
[35] Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Math., vol. 96, Birkhäuser, Basel, Boston, 1991 | MR | Zbl
[36] Filtration des modules holonomes, Analyse algébrique des perturbations singulières. Travaux en cours, Volume vol. 48, no 2 (1994), pp. 35-41 | Zbl
[37] Connexions méromorphes II: le réseau canonique, Invent. Math., Volume 124 (1996), pp. 367-387 | DOI | MR | Zbl
[38] On the extension of holonomic systems, Structure of solutions of differential equations, Katata-Kyoto 1995 (1996), pp. 279-285 | Zbl
[39] Frobenius manifolds, quantum cohomology and moduli spaces (Colloquium Publ.), Volume vol. 47 (1999) | Zbl
[40] Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les -modules cohérents, Travaux en cours, vol. 35, Hermann, Paris, 1989 | MR | Zbl
[41] Le théorème de comparaison entre cohomologies de de Rham d'une variété algébrique complexe et le théorème d'existence de Riemann, Publ. Math. I.H.E.S., Volume 69 (1989), pp. 47-89 | Numdam | MR | Zbl
[42] Le théorème de constructibilité de Kashiwara, Éléments de la théorie des systèmes différentiels, pp. 47-98 | Zbl
[43] -modules et cycles évanescents, Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les -modules cohérents, Volume Chap. III.4, pp. 201-239
[44] Semicontinuity of the spectrum at infinity, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Volume 69 (1999), pp. 25-35 | DOI | MR | Zbl
[45] On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 26 (1990), pp. 681-689 | DOI | MR | Zbl
[46] K. Saito's period map for holomorphic functions with isolated singularities, Algebraic Geometry, Sendai 1985 (Advanced Studies in Pure Math.), Volume 10 (1987), pp. 591-648 | Zbl
[47] Singularités des systèmes de Gauss-Manin, Progress in Math., vol. 2, Birkhäuser, Basel, Boston, 1980
[48] Vanishing homologies and the variable saddlepoint method, Singularities (Proc. of Symposia in Pure Math.), Volume vol. 40 (1983), pp. 319-333 | Zbl
[49] La descente des cols par les onglets de Lefschetz avec vues sur Gauss-Manin, Systèmes différentiels et singularités, pp. 11-47 | Zbl
[50] Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings, Expo. Math., Volume 16 (1998), pp. 1-58 | MR | Zbl
[51] Monodromy at infinity and Fourier transform, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 33 (1998), pp. 643-685 | DOI | MR | Zbl
[52] Hypergeometric period for a tame polynomial, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., Volume 328 (1999), pp. 603-608 | DOI | MR | Zbl
[53] Équations différentielles à points singuliers irréguliers et phénomène de Stokes en dimension 2, Astérisque, vol. 263, Soc. Math. France, Paris, 2000 | MR | Zbl
[54] Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, Savoirs Actuels, CNRS Éditions \& EDP Sciences, Paris, 2002 | MR | Zbl
[55] The higher residue pairings for a family of hypersurfaces singular points, Singularities (Proc. of Symposia in Pure Math.), Volume vol. 40 (1983), pp. 441-463 | Zbl
[56] Period mapping associated to a primitive form, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 19 (1983), pp. 1231-1264 | DOI | MR | Zbl
[57] Exponents and Newton polyhedra of isolated hypersurface singularities, Math. Ann., Volume 281 (1988), pp. 411-417 | DOI | MR | Zbl
[58] On the structure of Brieskorn lattices, Ann. Inst. Fourier, Volume 39 (1989) no. 1, pp. 27-72 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[59] Mixed Hodge Modules, Publ. RIMS, Kyoto Univ., Volume 26 (1990), pp. 221-333 | DOI | MR | Zbl
[60] Period mapping via Brieskorn modules, Bull. Soc. Math. France, Volume 119 (1991), pp. 141-171 | Numdam | MR | Zbl
[61] Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 269, Springer-Verlag, 1985 | MR | Zbl
[62] Index theorem for elliptic pairs, Astérisque, vol. 224, Soc. Math. France, Paris, 1994 | Zbl
[63] On the mixed Hodge structure on the cohomology of the Milnor fiber, Math. Ann., Volume 271 (1985), pp. 641-655 | DOI | MR | Zbl
[64] Variation of mixed Hodge structure I, Invent. Math., Volume 80 (1985), pp. 489-542 | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: