Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold  [ Quantification par déformation équivariante pour le fibré cotangent d'une variété de drapeaux ]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897.

Soit X une variété de drapeaux (généralisés) pour un groupe de Lie semisimple complexe G. Nous étudions la construction d’un star produit gradué sur =R(T X) qui correspond à une quantification G-équivariante des symboles vers les opérateurs différentiels tordus agissant sur les demi-formes sur X. Lorsque est engendrée par les fonctions moment μ x pour G, nous construisons de tels star produits , où μ x φ est de la forme μ x φ+1 2{μ x ,φ}t+Λ x (φ)t 2 . Les Λ x sont ici des opérateurs sur . Dans les exemples connus, Λ x (x0) n’est pas un opérateur différentiel, et le star produit μ x φ n’est donc pas local en φ. Alors est munie d’une forme hermitienne invariante définie positive et compatible avec sa graduation. L’espace complété de est un nouveau modèle de type Fock de la représentation unitaire de G sur les demi-densités L 2 sur X.

Let X be a (generalized) flag manifold of a complex semisimple Lie group G. We investigate the problem of constructing a graded star product on =R(T X) which corresponds to a G-equivariant quantization of symbols into twisted differential operators acting on half-forms on X. We construct, when is generated by the momentum functions μ x for G, a preferred choice of where μ x φ has the form μ x φ+1 2{μ x ,φ}t+Λ x (φ)t 2 . Here Λ x are operators on . In the known examples, Λ x (x0) is not a differential operator, and so the star product μ x φ is not local in φ. acquires an invariant positive definite inner product compatible with its grading. The completion of is a new Fock space type model of the unitary representation of G on L 2 half-densities on X.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1905
Classification : 53D55,  22E46,  17B35,  53D50
Mots clés: quantification par déformation, variété de drapeaux, représentation unitaire
@article{AIF_2002__52_3_881_0,
     author = {Brylinski, Ranee},
     title = {Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {881--897},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {52},
     number = {3},
     year = {2002},
     doi = {10.5802/aif.1905},
     zbl = {1010.53067},
     mrnumber = {1907391},
     language = {en},
     url = {aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2002__52_3_881_0/}
}
Brylinski, Ranee. Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold. Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 3, pp. 881-897. doi : 10.5802/aif.1905. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_2002__52_3_881_0/

[AB2] A. Astashkevich; R. Brylinski Non-Local Equivariant Star Product on the Minimal Nilpotent Orbit (e-print. To appear in Adv. Math., math.QA/0010257 v2) | MR 1933385 | Zbl 1010.22021

[AB1] A. Astashkevich; R. Brylinski Exotic Differential Operators on Complex Minimal Nilpotent Orbits, Advances in Geometry (Progress in Mathematics) Volume Vol. 172 (1998), pp. 19-51 | Zbl 0918.16021

[B] R. Brylinski Non-Locality of Equivariant Star Products on 𝐓 * ( n ) (e-print, math.QA/0010259)

[B] R. Brylinski Non-Locality of Equivariant Star Products on 𝐓 * ( n ), Lett. Math. Physics, Volume 58 (2001) no. 1, pp. 21-28 | Article | MR 1865110 | Zbl 1029.53094

[BKo] R. Brylinski; B. Kostant Nilpotent orbits, normality and Hamiltonian group actions, Jour. Amer. Math. Soc., Volume 7 (1994), pp. 269-298 | MR 1239505 | Zbl 0826.22017

[BoBr] W. Borho; J-L. Brylinski Differential operators on homogeneous spaces I. Irreducibility of the associated variety for annihilators of induced modules., Invent. Math, Volume 69 (1982), pp. 437-476 | MR 679767 | Zbl 0504.22015

[C-BD] N. Conze-Berline; M. Duflo Sur les représentations induites des groupes semi-simples complexes, Comp. Math, Volume 34 (1977), pp. 307-336 | Numdam | MR 439991 | Zbl 0389.22016

[CG] M. Cahen; S. Gutt; W. Rindler and A. Trautman eds. An algebraic construction of * product on the regular orbits of semi simple Lie groups, Gravitation and Geometry (1987), pp. 73-82 | Zbl 0659.58020

[DLO] C. Duval; P. Lecomte; V. Ovsienko Conformally equivariant quantization: existence and uniqueness, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999) no. 6, pp. 1999-2029 | Article | Numdam | MR 1738073 | Zbl 0932.53048

[KP] H. Kraft; C. Procesi Closures of conjugacy classes of matrices are normal, Inv. Math, Volume 53 (1979), pp. 227-247 | Article | MR 549399 | Zbl 0434.14026

[LO] P. B. A. Lecomte; V. Yu. Ovsienko Projectively equivariant symbol calculus, Letters in Math. Phys, Volume 49 (1999), pp. 173-196 | Article | MR 1743456 | Zbl 0989.17015

[V] D. A. Vogan Unitarizability of a certain series of representations, Ann. Math., Volume 120 (1984), pp. 141-187 | Article | MR 750719 | Zbl 0561.22010