Let be a (generalized) flag manifold of a complex semisimple Lie group . We investigate the problem of constructing a graded star product on which corresponds to a -equivariant quantization of symbols into twisted differential operators acting on half-forms on . We construct, when is generated by the momentum functions for , a preferred choice of where has the form . Here are operators on . In the known examples, () is not a differential operator, and so the star product is not local in . acquires an invariant positive definite inner product compatible with its grading. The completion of is a new Fock space type model of the unitary representation of on half-densities on .
Soit une variété de drapeaux (généralisés) pour un groupe de Lie semisimple complexe . Nous étudions la construction d’un star produit gradué sur qui correspond à une quantification -équivariante des symboles vers les opérateurs différentiels tordus agissant sur les demi-formes sur . Lorsque est engendrée par les fonctions moment pour , nous construisons de tels star produits , où est de la forme . Les sont ici des opérateurs sur . Dans les exemples connus, () n’est pas un opérateur différentiel, et le star produit n’est donc pas local en . Alors est munie d’une forme hermitienne invariante définie positive et compatible avec sa graduation. L’espace complété de est un nouveau modèle de type Fock de la représentation unitaire de sur les demi-densités sur .
Keywords: deformation quantization, flag manifold, unitary representation
Mot clés : quantification par déformation, variété de drapeaux, représentation unitaire
Brylinski, Ranee 1
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Brylinski, Ranee. Equivariant deformation quantization for the cotangent bundle of a flag manifold. Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 3, pp. 881-897. doi : 10.5802/aif.1905. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1905/
[AB1] Exotic Differential Operators on Complex Minimal Nilpotent Orbits, Advances in Geometry (Progress in Mathematics), Volume Vol. 172 (1998), pp. 19-51 | Zbl
[AB2] Non-Local Equivariant Star Product on the Minimal Nilpotent Orbit (e-print. To appear in Adv. Math., math.QA/0010257 v2) | MR | Zbl
[B] Non-Locality of Equivariant Star Products on , Lett. Math. Physics, Volume 58 (2001) no. 1, pp. 21-28 | DOI | MR | Zbl
[B] Non-Locality of Equivariant Star Products on (e-print, math.QA/0010259)
[BKo] Nilpotent orbits, normality and Hamiltonian group actions, Jour. Amer. Math. Soc., Volume 7 (1994), pp. 269-298 | MR | Zbl
[BoBr] Differential operators on homogeneous spaces I. Irreducibility of the associated variety for annihilators of induced modules., Invent. Math, Volume 69 (1982), pp. 437-476 | MR | Zbl
[C-BD] Sur les représentations induites des groupes semi-simples complexes, Comp. Math, Volume 34 (1977), pp. 307-336 | Numdam | MR | Zbl
[CG] An algebraic construction of product on the regular orbits of semi simple Lie groups, Gravitation and Geometry (1987), pp. 73-82 | Zbl
[DLO] Conformally equivariant quantization: existence and uniqueness, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999) no. 6, pp. 1999-2029 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[KP] Closures of conjugacy classes of matrices are normal, Inv. Math, Volume 53 (1979), pp. 227-247 | DOI | MR | Zbl
[LO] Projectively equivariant symbol calculus, Letters in Math. Phys, Volume 49 (1999), pp. 173-196 | DOI | MR | Zbl
[V] Unitarizability of a certain series of representations, Ann. Math., Volume 120 (1984), pp. 141-187 | DOI | MR | Zbl
Cited by Sources: