no. 1
Variétés de modules alternatives
Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 57-139.

Soit X une variété algébrique projective lisse irréductible. On appelle variété de modules fins de faisceaux sur X une famille ℱ de faisceaux cohérents sur X paramétrée par une variété intègre M, possédant les propriétés suivantes : ℱ est plate sur M; pour tous x,y∈M distincts, les faisceaux ℱ x et ℱ y sur X ne sont pas isomorphes et ℱ est une déformation complète de ℱ x ; enfin ℱ possède une propriété universelle locale évidente. On a aussi la notion de variété de modules fins définie localement, où ℱ est remplacée par une famille (ℱ i ),ℱ i étant définie sur un ouvert U i de M, les U i recouvrant M. Cet article est consacré à l’étude de ces variétés de modules. On commence par donner des résultats théoriques généraux. On étudie ensuite trois types de variétés de modules fins sur le plan projectif : les variétés de modules de faisceaux prioritaires, celles qui sont constituées de faisceaux simples de rang 1, et celles qui proviennent de variétés de modules de morphismes. Dans le premier cas, on donne des exemples de variétés de modules fins définies localement mais non globalement, dans le second des exemples de variétés de modules fins maximales mais non projectives, et dans le troisième on trouve une variété de modules fins projective, constituée de faisceaux simples sans torsion, contenant des faisceaux stables, mais distincte de la variété de modules de faisceaux stables correspondante.

Let X be a projective irreducible smooth algebraic variety. A fine moduli space of sheaves on X is a family ℱ of coherent sheaves on X parametrized by an integral variety M such that : ℱ is flat on M; for all distinct points x,y of M the sheaves ℱ x , ℱ y on X are not isomorphic and ℱ is a complete deformation of ℱ x ; the family ℱ has an obvious local universal property. We define also a fine moduli space defined locally, where ℱ is replaced by a family (ℱ i ), where ℱ i is defined on an open subset U i of M, the U i covering M. This paper is devoted to the study of such fine moduli spaces. We first give some general results, and apply them in three cases on the projective plane : the fine moduli spaces of prioritary sheaves, the fine moduli spaces consisting of simple rank 1 sheaves, and those which come from moduli spaces of morphisms. In the first case we give an example of a fine moduli space defined locally but not globally, in the second an example of a maximal non projective fine moduli space, and in the third we find a projective fine moduli space consisting of simple torsion free sheaves, containing stable sheaves, but which is different from the corresponding moduli space of stable sheaves.

@article{AIF_1999__49_1_57_0,
     author = {Drezet, Jean-Marc},
     title = {Vari\'et\'es de modules alternatives},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {57--139},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {49},
     number = {1},
     year = {1999},
     doi = {10.5802/aif.1669},
     zbl = {0923.14005},
     mrnumber = {2000c:14017},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1669/}
}
TY  - JOUR
AU  - Drezet, Jean-Marc
TI  - Variétés de modules alternatives
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1999
SP  - 57
EP  - 139
VL  - 49
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1669/
DO  - 10.5802/aif.1669
LA  - fr
ID  - AIF_1999__49_1_57_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Drezet, Jean-Marc
%T Variétés de modules alternatives
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1999
%P 57-139
%V 49
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1669/
%R 10.5802/aif.1669
%G fr
%F AIF_1999__49_1_57_0
Drezet, Jean-Marc. Variétés de modules alternatives. Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 57-139. doi : 10.5802/aif.1669. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1669/

[1] E. Brieskorn, Über holomorphe ∙n-Bündel über ∙1, Math. Ann., 157 (1967), 343-357. | MR | Zbl

[2] J.-M. Drézet, Fibrés exceptionnels et suite spectrale de Beilinson généralisée sur ∙2(ℂ), Math. Ann., 275 (1986), 25-48. | MR | Zbl

[3] J.-M. Drézet, Fibrés exceptionnels et variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ∙2(ℂ), J. reine angew. Math., 380 (1987), 14-58. | MR | Zbl

[4] J.-M. Drézet, Points non factoriels des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur une surface rationnelle, J. reine angew. Math., 413 (1991), 99-126. | MR | Zbl

[5] J.-M. Drézet, Groupe de Picard des variétés de modules de faisceaux semi-stables sur ∙2(ℂ), Ann. Inst. Fourier, 38-3 (1988), 105-168. | Numdam | MR | Zbl

[6] J.-M. Drézet, Variétés de modules extrémales de faisceaux semi-stables sur ∙2(ℂ), Math. Ann., 290 (1991), 727-770. | MR | Zbl

[7] J.-M. Drézet, Espaces abstraits de morphismes et mutations, Preprint Paris VII, 1996. | Zbl

[8] J.-M. Drézet, Quotients algébriques par des groupes non réductifs et variétés de modules de complexes, Intern. J. of Math, vol. 9, n° 7 (1998), 769-819. | MR | Zbl

[9] J.-M. Drézet, J. Le Potier, Fibrés stables et fibrés exceptionnels sur ∙2, Ann. Éc. Norm. Sup., 18 (1985), 193-244. | Numdam | MR | Zbl

[10] J.-M. Drézet, M.S. Narasimhan, Groupe de Picard des variétés de modules de fibrés semi-stables sur les courbes algébriques, Invent. Math., 97 (1989), 53-94. | EuDML | MR | Zbl

[11] J.-M. Drézet, Trautmann, G., Moduli spaces of decomposable morphisms of sheaves and quotients by non-reductive groups, Preprint, 1998, e-print service at http ://xxx.lanl.gov/list/math/9805. | MR | Zbl

[12] D. Gieseker, On the moduli of vector bundles on an algebraic surface, Ann. Math., 106 (1977), 45-60. | MR | Zbl

[13] A.L. Gorodentsev, Exceptional bundles on surfaces with a moving anticanonical class, Math. Izvestiya, AMS Transl., 33 (1989), 67-83. | MR | Zbl

[14] A.L. Gorodentsev, A.N. Rudakov, Exceptional vector bundles on projective spaces, Duke Math. J., 54 (1987), 115-130. | MR | Zbl

[15] A. Grothendieck, Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique IV : les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki, 1960/1961, n° 221. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[16] A. Hirschowitz, Rank techniques and jump stratifications. Vector bundles on algebraic varieties, Tata Inst. Bombay, Oxford Univ. Press, 1987, 159-205. | MR | Zbl

[17] A. Hirschowitz, Laszlo, Y., Fibrés génériques sur le plan projectif, Math. Ann., 297 (1993), 85-102. | EuDML | MR | Zbl

[18] A. Hirschowitz, Narasimhan, M.S., Fibrés de t'Hooft spéciaux et applications, Enumerative geometry and Classical algebraic geometry, Progr. in Math., 24 (1982). | MR | Zbl

[19] B.V. Karpov, Semistable sheaves on a two-dimensional quadric and Kronecker modules, Math. Izvestiya, AMS Transl., 40 (1993), 33-66. | MR | Zbl

[20] B.V. Karpov, Semistable sheaves on Del Pezzo surfaces and Kronecker modules, Preprint, 1994.

[21] J. Le Potier, Fibrés stables de rang 2 sur ∙2(ℂ), Math. Ann., 241 (1979), 217-256. | EuDML | MR | Zbl

[22] J. Le Potier, Fibré déterminant et courbes de saut sur les surfaces algébriques, Complex Projective Geometry, London Math. Soc., Bergen, 1989, 213-240. | MR | Zbl

[23] J. Le Potier, Systèmes cohérents et structures de niveau, Astérisque, Soc. Math. de France, 214 (1993). | MR | Zbl

[24] J. Le Potier, Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques, Public. Math. Univ. Paris 7, Denis Diderot, 35, 1995. | MR | Zbl

[25] J. Le Potier, Faisceaux semi-stables de dimension 1 sur le plan projectif, Revue Roumaine Math. Pures Appl., 38 (1993), 635-678. | MR | Zbl

[26] M. Maruyama, Moduli of stable sheaves, I, J. Math. Kyoto Univ., 17 (1977), 91-126. | MR | Zbl

[27] M. Maruyama, Moduli of stable sheaves, II, J. Math. Kyoto Univ., 18 (1978), 577-614. | MR | Zbl

[28] D. Mumford, Fogarty, J., Geometric invariant theory, Ergeb. Math. Grenzgeb, Bd. 34., Berlin Heidelberg New York, Springer, 1982. | MR | Zbl

[29] Grothendieck, Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, 224 (1971). | Zbl

[30] C.T. Simpson, Moduli of representations of the fundamental group of a smooth projective variety, I, Publ. Math. IHES, 79 (1994), 47-129. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[31] Y. Siu, G. Trautmann, Deformations of coherent analytic sheaves with compact supports, Memoirs of the Amer. Math. Soc., vol. 29, n° 238 (1981). | MR | Zbl

[32] S.A. Strømme, Deforming vector bundles on the projective plane, Math. Annalen, 263 (1983), 385-397. | EuDML | MR | Zbl

[33] K. Yoshioka, A note on the universal family of moduli of stable sheaves, preprint, 1997. | Zbl

Cité par Sources :