no. 3
On gradients of functions definable in o-minimal structures
Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 769-783

We prove the o-minimal generalization of the Łojasiewicz inequality ∥ grad f∥≥|f| α , with α<1, in a neighborhood of a, where f is real analytic at a and f(a)=0. We deduce, as in the analytic case, that trajectories of the gradient of a function definable in an o-minimal structure are of uniformly bounded length. We obtain also that the gradient flow gives a retraction onto levels of such functions.

S.Łojasiewicz a démontré que si f est une fonction analytique au voisinage de a, avec f(a)=0, alors ∥ grad f∥≥|f| α , avec α<1. Nous démontrons la généralisation de cette inégalité valable dans toute structure o-minimale. Nous en déduisons (comme dans le cas analytique) que toutes les trajectoires du gradient d’une fonction définissable dans une structure o-minimale ont des longueurs uniformément bornées. Ceci permet de démontrer que le flot du gradient définit une rétraction sur une ligne de niveau.

Kurdyka, Krzysztof. On gradients of functions definable in o-minimal structures. Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 769-783. doi: 10.5802/aif.1638
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