Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques

Loeb, Jean-Jacques

doi:10.5802/aif.1028

Loeb, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 59-97.

Résumé
Abstract

Soit $G_{C}$ un groupe de Lie complexe et $G_{R}$ une forme réelle fermée de $G_{C}$ . Un couple $(G_{C}, G_{R})$ est dit pseudo-convexe, s’il existe sur $G_{C}$ une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de $G_{R}$ et d’exhaustion sur $G_{C} / G_{R}$ . On dit que $G_{R}$ est à spectre imaginaire pur, si pour tout $X$ de Lie $(G_{R})$ , les valeurs propres de ad $X$ sont imaginaires pures. Pour $G_{C}$ à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de $(G_{C}, G_{R})$ . Pour $(G_{C}, G_{R})$ pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant $Ω$ une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur $Ω / G_{R}$ . Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant : “Soit $Ω$ un ouvert de Stein $G_{R}$ -invariant de $X \times G_{C}$ et à fibre connexe au-dessus de $X$ . Sa projection sur $X$ est de Stein, lorsque $X$ est de Stein”. Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur $G_{C}$ lorsque $G_{R}$ n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.

Let $G_{C}$ be a complex Lie group and $G_{R}$ a closed real form of $G_{C}$ . By definition, a pair $(G_{C}, G_{R})$ is pseudo-convex, if there exists on $G_{C}$ a regular function, strictly p.s.h., invariant by $G_{R}$ , and exhaustive on $G_{C} / G_{R}$ . By definition, $G_{R}$ has a purely imaginary specter, if for all $X$ in $(G_{R})$ , the eigenvalues of ad $X$ are purely imaginary. When $G_{C}$ has a simply connected radical, this last property is the same as pseudo-convexity of $(G_{C}, G_{R})$ . For $(G_{C}, G_{R})$ pseudo-convex and under a discrete subgroup hypothesis, there exists on an invariant open subset $Ω$ , a strictly p.s.h. invariant function, exhaustive on $Ω / G_{R}$ . With the same hypothesis, we have the following theorem: “Let be $Ω$ a $G_{R}$ -invariant open subset of de $X \times G_{C}$ , with connected fibers upon $X$ . His protection on $X$ is Stein, when $X$ is Stein”. We prove also the non existence of an invariant kählerian metric on $G_{C}$ , when the specter of $G_{R}$ is not purely imaginary. We deduce the non existence of a kählerian metric on some non compact complex nilmanifolds.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.1028

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Loeb, Jean-Jacques. Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 59-97. doi : 10.5802/aif.1028. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.1028/

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