Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de 𝐐
Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, p. 107-124
Let K be a real cyclic extension of degree 4 of Q ; let k be its quadratic subfield. We determine the class number and the units of K, and we prove that the problem of the “capitulation” of classes of k in K is characterized by elementary properties of the units of K. We have obtained a numerical table of the class number, the units, and the eventual “capitulation” of a class, for all fields K with conductor f<4000 ; we publish here an extract of it.
Soit K une extension cyclique réelle de degré 4 de Q de sous-corps quadratique k. Nous déterminons le nombre de classes et les unités de K puis nous montrons que le problème de la “capitulation” de classes de k dans K est caractérisé par des propriétés élémentaires des unités de K. Nous avons obtenu une table numérique du nombre de classes, des unités ainsi que de l’éventuelle “capitulation” d’une classe, pour tous les corps K de conducteur f<4000 ; nous en publions ici un extrait.
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     author = {Gras, Marie-Nicole},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de ${\bf Q}$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 107-124. doi : 10.5802/aif.729. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1979__29_1_107_0/

[1] L. Bouvier et J.J. Payan, Modules sur certains anneaux de Dedekind. Application à la structure du groupe des classes et à l'existence d'unités de Minkowski, J. reine angew. Math., 274/275 (1975), 278-286. | MR 51 #10284 | Zbl 0309.12006

[2] G. Gras et M.N. Gras, Calcul du nombre de classes et des unités des extensions abéliennes réelles de Q, Bull. Sc. Math. 2ème série, 101 (1977), 97-129. | MR 58 #586 | Zbl 0359.12007

[3] M.N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q, J. reine angew. Math., 277 (1975), 89-116. | MR 52 #10675 | Zbl 0315.12007

[4] M.N. Gras, Table numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de Q, Publ. Math. Univ. Besançon, 1977-1978, fasc. 2. | Zbl 0471.12006

[5] H. Hasse, Uber die Klassenzahl abelscher Zahlkörper, Akademie-Verlag, Berlin, 1952.

[6] H. Hasse, Arithmetische Bestimmung von Grundeinheit und Klassenzahl in zyklischen kubischen und biquadratischen Zahlkörpern, Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, Math. (1948), n° 2, 1-95. | Zbl 0035.30502

[7] K. Iwasawa, A note on the group of units of an algebraic number field, Journ. Math. Pures Appl., 35 (1956), 189-192. | MR 17,946h | Zbl 0071.26504

[8] H.W. Leopoldt, Uber Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlkörper, Abh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin, Math. (1953), n° 2, 1-48. | Zbl 0059.03501