Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues

Roth, Jean-Pierre

doi:10.5802/aif.632

Roth, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 1-97.

Résumé
Abstract

Soit $X$ un espace localement compact. Tout opérateur dissipatif de domaine dense dans $C^{0} ((X)$ est limite d’opérateurs dissipatifs bornés. Ce résultat permet, dans le cas où $X$ est un espace homogène, de démontrer que tout opérateur dissipatif, de domaine dense et invariant sur $C^{0} (X)$ se prolonge en le générateur infinitésimal d’un semi-groupe à contraction invariant sur $C^{0} (X)$ .

À tout opérateur $A$ vérifiant le principe du maximum positif sur $C^{0} (X, R)$ et de domaine assez riche, on associe un opérateur bilinéaire $B$ , appelé opérateur carré du champ, défini par

\forall f, g \in D (A), B (f, g) = A (f g) - f A (g) - g A (f) .

$B$ vérifie la propriété remarquable suivante : pour toute mesure positive bornée $μ$ sur $X, (f, g) \mapsto \int B (f, g) d μ$ est une forme de Dirichlet définie sur $D (A)$ .

Si $A$ est le générateur local d’un semi-groupe de Feller sur $C^{0} (X)$ , on définit, pour des ouverts $Ω$ de $X$ suffisamment réguliers, la restriction de $A$ à $Ω$ . Cette restriction est le générateur d’un semi-groupe de Feller sur $C^{0} (Ω)$ .

Let $X$ be a locally compact space. Any dissipative operator densely defined in $C^{0} (X)$ is a limit of bounded dissipative operators. When $X$ is an homogeneous space then this result allows us to prove that any invariant dissipative and densely defined operator on $C^{0} (X)$ extends itself into the infinitesimal generator of an invariant semigroup in $C^{0} (X)$ .

To every operator $A$ which satisfies to the positive maximum principle in $C^{0} (X, R)$ and so that $D (A)$ is rich enough, is associated a bilinear operator $B$ called “opérateur carré du champ" which is defined as follows:

\forall f, g \in D (A), B (f, g) = A (f g) - f A (g) - g A (f) .

$B$ satisfies to the remarkable property that for any positive bounded measure $μ$ on $X, (f, g) \mapsto \int B (f, g) d μ$ is a Dirichlet form on $D (A)$ .

If $A$ is the local generator of a Feller’s semigroup in $C^{0} (X)$ , the restriction of $A$ to $Ω$ is defined for any sufficiently regular open set $Ω$ . This restriction is the generator of a Feller’s semigroup in $C^{0} (Ω)$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.632

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Roth, Jean-Pierre. Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 4, pp. 1-97. doi : 10.5802/aif.632. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.632/

Bibliographie
Cité par

[1] G. Allain, Sur la représentation des formes de Dirichlet, Thèse de 3e cycle, Septembre 1973, Paris XI (Orsay), Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 25, Fasc. 3-4 (1975), 1-10. | Numdam | Zbl

[2] A. Beurling et J. Deny, Dirichlet Spaces, Proc. Nat. Ac. Sc., 45 (1959), 208-215. | MR | Zbl

[3] Ph. Courrege, Sur la forme intégro-différentielle des opérateurs de C∞K dans C satisfaisant au principe du maximum, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 10e année (1965-1966). | Numdam | Zbl

[4] J. Deny, Sur l'équation de convolution µ = µ * σ, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 4e année (1959-1960), N° 5. | Numdam

[5] J. R. Dorroh, Contraction semi-groups in a function space, Pacific J. Math., 19 (1966), 35-38. | MR | Zbl

[6] M. Duflo, Semi-groups of complex measures on a locally compact group, (Preprint).

[7] E. B. Dynkin, Markov Processes, Springer-Verlag, 1965. | Zbl

[8] J. Faraut, Semi-groups of invariant operators, (Preprint). Vancouver. Août 1974.

[9] J. Faraut, Semi-groupes de mesures complexes et calcul symbolique sur les générateurs infinitésimaux de semi-groupes d'opérateurs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 20, Fasc. 1 (1970), 235-301. | Numdam | MR | Zbl

[10] J. Faraut et K. Harzallah, Semi-groupes d'opérateurs invariants et opérateurs dissipatifs invariants, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 22, Fasc. 2 (1972), 147-164. | Numdam | MR | Zbl

[11] F. Hirsch, Familles résolvantes, générateurs, cogénérateurs, potentiels, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 22, Fasc. 1 (1972), 89-210. | Numdam | MR | Zbl

[12] F. Hirsch, Opérateurs dissipatifs et codissipatifs invariants par translation sur les groupes localement compacts, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Théorie du potentiel, 14e année, (1970-1972), N° 16. | Numdam | Zbl

[13] F. Hirsch et J. P. Roth, Opérateurs dissipatifs et codissipatifs invariants sur un espace homogène, Théorie du potentiel et Analyse harmonique, Lecture Notes 404, Springer (1974), 229-245. | MR | Zbl

[14] F. Hirsch et J. P. Roth, Opérateurs dissipatifs et codissipatifs invariants sur un espace homogène, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 274 (1972), Série A, 1791-1793. | MR | Zbl

[15] G. A. Hunt, Semi-groups of measures on Lies groups, Trans. A.M.S., 81 (1956), 264-293. | MR | Zbl

[16] J. Neveu, Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 22, Fasc. 2 (1972), 85-130. | Numdam | MR | Zbl

[17] J. P. Roth, Approximation des opérateurs dissipatifs, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 276 (1973), Série A, 1285-1287. | MR | Zbl

[18] J. P. Roth, Sur les semi-groupes à contraction invariants sur un espace homogène, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 277 (1973), Série A, 1091-1094. | MR | Zbl

[19] J. P. Roth, Opérateurs carrés du champ et formule de Lévy-Khinchine sur les espaces localement compacts, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 278 (1974), Série A, 1103-1106. | MR | Zbl

[20] J. P. Roth, Restriction à un ouvert d'un générateur infinitésimal local, C.R. Acad. Sc., Paris, t. 279 (1974), Série A, 363-366. | MR | Zbl

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