no. 1
Sur le théorème de Poincaré-Bendixson
Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 1, pp. 131-148.

Le but de cet article est de démontrer deux conditions nécessaires de non existence d’ensemble minimal exceptionnel dans un feuilletage F de codimension 1 d’une variété compacte M. La première est métrique ; elle porte sur la croissance des feuilles et elle répond à une conjecture de Plante. La seconde est homotopique, elle porte sur les groupes fondamentaux de M et des feuilles de F.

De ces deux conditions, nous déduisons deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un feuilletage soit sans holonomie. Enfin, ces résultats sont appliqués dans deux cas particuliers :

- les feuilletages d’une variété fibrée sur S 1 de fibre T 2 .

- les feuilletages d’un fibré en cercle S 1 , transverses à la fibration.

The aim of this article is to prove two necessary conditions of non-existence of exceptional minimal set in a codimension one foliation F on a compact manifold M. The first one is about the growth of leaves, and gives an answer to a conjecture of Plante. The second one is about the fundamental groups of M and leaves of F.

From this two conditions, we deduce two necessary and sufficient conditions for a foliation to be without holonomy. Then these results are applied to the following cases:

- foliation on a manifold fibred over S 1 , with T 2 .

- foliation on the total space of a bundle with fiber S 1 , transverse to the fibration.

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[1] A. Denjoy, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore. Journal de Math. Vol. 11 (1932). | JFM

[2] N. Kopell, Commuting diffeomorphisms - thèse (Université de Berkeley) (1967).

[3] E. Mazet, Sur les travaux de Milnor-Wolf - Séminaire Berger (1972).

[4] J. Milnor, A note on curvature and fundamental group, Journal of differential Geometry 2 (1968). | MR | Zbl

[5] R. Moussu, Sur les feuilletages de codimension 1 - thèse Orsay (1971).

[6] R. Moussu et R. Roussarie, Une condition suffisante pour qu'un feuilletage soit sans holonomie - Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Tome 271, Série A (1970) 240-243. | MR | Zbl

[7] R. Moussu et R. Roussarie, Relations de conjugaison et de cobordisme entre certains feuilletages (à paraître aux publications de l'I.H.E.S.). | Numdam | Zbl

[8] S.P. Novikov, Topology of foliations - Trudy Mark - Math. Obsch - Vol. 14. (1965). | MR | Zbl

[9] J.F. Plante, Asymptotic properties of foliations (à paraître dans commentarii Math. Hel). | Zbl

[10] J.F. Plante, A generalisation of the Poincaré-Bendixson theorem for foliations of codimension one (à paraître dans Topology). | Zbl

[11] J.F. Plante, On the existence of exceptional minimal sets in foliations of codimension one (à paraître). | Zbl

[12] B. Raymond, Notes multigraphiées.

[13] G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées; Actualités scientifiques et industrielles, Hermann (1952). | MR | Zbl

[14] H. Rosenberg et R. Roussarie, Topological equivalence of Reeb foliations, Topology Vol. 9 (1970). | MR | Zbl

[15] R. Roussarie, Plongements dans les variétés feuilletées et classification des feuilletages sans holonomie, à paraître aux publications de l'I.H.E.S. | Numdam | Zbl

[16] R. Sacksteder, Foliations and pseudo-groups, American journal of Math. Vol. 87 (1965). | MR | Zbl

[17] D. Tischler, On fibering certain foliated manifolds, Topology, Vol. 9, n° 2 (1970). | MR | Zbl

[18] H. Whitney, Geometric integration theory, Princeton University, Press (1957). | MR | Zbl

[19] J. Wolf, Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian manifolds, Journal of differential Geometry 2 (1968) 421-446. | MR | Zbl

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