An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential equations
Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 2, p. 167-208
Sur un espace localement compact séparé W, soit h une classe de fonctions réelles satisfaisant aux axiomes de Brelot. On suppose que la fonction constante 1 est surharmonique par rapport à h, ce qui implique un principe de maximum pour h. On établit d’abord pour l’espace W un schéma de classification analogue à la classification usuelle des surfaces de Riemann ouvertes en surfaces paraboliques ou hyperboliques. Soit h une autre classe de fonctions réelles vérifiant les mêmes conditions que h, et l’hypothèse additionnelle que les fonctions positives de h à domaine dans le complémentaire d’un compact fixe de W sont surharmoniques par rapport à h. On établit diverses relations entre les classes h et R ; en particulier si W est hyperbolique par rapport à h, il existe un isomorphisme isométrique de l’espace des fonctions bornées de R à domaine W dans l’espace des fonctions bornées de h à domaine W (la métrique étant celle définie par la norme du supremum). Ce travail généralise un travail de H.L. Royden dans lequel h est la classe des solutions de l’équation Δu=Qu sur une surface de Riemann ouverte W, R la classe des solutions de l’équation Δu=Pu sur W, et PQ0.
@article{AIF_1966__16_2_167_0,
     author = {Loeb, Peter},
     title = {An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential equations},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {16},
     number = {2},
     year = {1966},
     pages = {167-208},
     doi = {10.5802/aif.240},
     mrnumber = {37 \#3039},
     zbl = {0172.15101},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1966__16_2_167_0}
}
An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential equations. Annales de l'Institut Fourier, Volume 16 (1966) no. 2, pp. 167-208. doi : 10.5802/aif.240. https://aif.centre-mersenne.org/item/AIF_1966__16_2_167_0/

[1] H. Bauer, Axiomatische Behandlung des Dirichletschen Problems für Elliptische und Parabolische Differentialgleichungen, Math. Annalen, 146 (1962), 1-59. | MR 26 #1612 | Zbl 0107.08003

[2] N. Boboc, C. Constantinescu and A. Cornea, On the Dirichlet Problem in the Axiomatic Theory of Harmonic Functions, Nagoya Math. Journ., 23 (1963), 73-96. | MR 29 #261 | Zbl 0139.06603

[3] N. Bourbaki, Intégration, Actualités Sci. Ind., 1175 (1952), Paris. | Zbl 0049.31703

[4] M. Brelot, Une Axiomatique Générale du Problème de Dirichlet dans les Espaces Localement Compacts, Séminaire de Théorie du Potentiel (dirigé par M. Brelot et G. Choquet), 1957, 6-01-6-16. | Numdam

[5] M. Brelot, Axiomatique des Fonctions Harmoniques et Surharmoniques dans un Espace Localement Compact, Séminaire de Théorie du Potentiel (dirigé par M. Brelot, G. Choquet et J. Deny), 1958, 1-01-1-40. | Numdam

[6] M. Brelot, Lectures on Potentiel Theory, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, (1960). | Zbl 0098.06903

[7] C. Constantinescu and A. Cornea, On the Axiomatic of Harmonic Functions I, Ann. Inst. Fourier, 13,2 (1963), 373-388. | Numdam | MR 29 #2416 | Zbl 0122.34001

[8] R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Inter-science Publishers, New York, 1962. | Zbl 0099.29504

[9] K. Gowrisankaran, Extreme Harmonic Functions and Boundary Value Problems, Ann. Inst. Fourier, 13,2 (1963), 307-356. | Numdam | MR 29 #1350 | Zbl 0134.09503

[10] R.-M. Hervé, Recherches Axiomatiques sur la Théorie des Fonctions Surharmoniques et du Potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR 25 #3186 | Zbl 0101.08103

[11] K. Hoffman, Banach Spaces of Analytic Functions, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1962. | MR 24 #A2844 | Zbl 0117.34001

[12] O. Perron, Eine Neue Behandlung der Ersten Randwertaufgabe für ∆u = 0, Math. Z., 18 (1923), 42-54. | JFM 49.0340.01

[13] H. L. Royden, The Equation ∆u = Pu, and the Classification of Open Riemann Surfaces, Mathematica, Helsinki, 271 (1959). | MR 22 #12215 | Zbl 0096.05803

[14] H. L. Royden, Real Analysis, Macmillan, New York, 1963. | MR 27 #1540 | Zbl 0121.05501