Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites

Huet, Denise

doi:10.5802/aif.98

Huet, Denise

Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), pp. 61-150.

Résumé

Ce travail apporte, par utilisation systématique de la méthode de résolution des problèmes aux limites de M. Lions, une contribution à l’étude de deux problèmes de perturbation singulière, qui entrent dans un nombre important de problèmes de physique mathématique et de mécanique.

Problème 1 (Chapitre I) : Soit $B_{ε}$ une famille d’opérateurs elliptiques dépendant du paramètre réel positif $ε$ , et se réduisant, pour $ε = 0$ , à un opérateur elliptique $B$ , d’ordre inférieur à celui des $B_{ε}$ . On montre que, sous des hypothèses convenables, lorsque $ε \to 0$ , la solution $u_{ε}$ d’un problème aux limites sur un ouvert $Ω$ de $R^{n}$ , relatif à $B_{ε} u_{ε} = f$ , converge vers la solution $u$ d’un problème aux limites sur $Ω$ , relatif à $B u = f$ , où $f$ est donnée. Exemples d’applications aux équations aux dérivées partielles. Amélioration de la convergence, localement et à la frontière, par utilisation des résultats de Friedrichs, Nirenberg et Browder. Convergence des valeurs propres et des fonctions propres de $B_{ε}$ .

Problème 2 (Chapitre II) : Désignons par $t$ une variable réelle $\geq 0$ , appelée temps, par $D$ l’opérateur $(\partial / \partial t)$ . Soit $B_{ε} (t)$ une famille d’opérateurs différentiels elliptiques en $x (x \in R^{n})$ , dépendant du temps, se réduisant, pour $ε = 0$ , à un opérateur différentiel elliptique en $x$ , $B (t)$ , dépendant du temps, d’ordre inférieur à celui des $B_{ε} (t)$ . Étude de la convergence, quand $ε \to 0$ , de la solution $u_{ε} (t)$ d’un problème mixte fin relatif à $B_{ε} (t) u_{ε} (t) + D u_{ε} (t)$ (resp. $D^{2} u_{ε} (t)$ ) $= h (t)$ , vers la solution $u (t)$ , d’un problème mixte fin relatif à $B (t) u (t) + D u (t)$ (resp. $D^{2} u (t)$ ) $= h (t)$ où $h (t)$ est donnée. Application aux équations aux dérivées partielles, et, lorsque $B_{ε}$ ne dépend pas de $t$ , aux semi-groupes.

EuDML MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.98

@article{AIF_1960__10__61_0,
     author = {Huet, Denise},
     title = {Ph\'enom\`enes de perturbation singuli\`ere dans les probl\`emes aux limites},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {61--150},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {10},
     year = {1960},
     doi = {10.5802/aif.98},
     mrnumber = {118968},
     zbl = {0128.32904},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.98/}
}

TY  - JOUR
AU  - Huet, Denise
TI  - Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1960
SP  - 61
EP  - 150
VL  - 10
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.98/
DO  - 10.5802/aif.98
LA  - fr
ID  - AIF_1960__10__61_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Huet, Denise
%T Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1960
%P 61-150
%V 10
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.98/
%R 10.5802/aif.98
%G fr
%F AIF_1960__10__61_0

Huet, Denise. Phénomènes de perturbation singulière dans les problèmes aux limites. Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), pp. 61-150. doi : 10.5802/aif.98. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.98/

Bibliographie
Cité par

[1] Bourbaki. Espaces vectoriels topologiques, livre V, Hermann, Paris. | Zbl

[1] Browder. On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations, Comm. pure and appl. Math., t. 9, 1956, pp. 351-361. | MR | Zbl

[1] Courant Hilbert. Methods of mathematical physics.

[1] Faedo. Un nouvo metodo per l'analisi esistenziale e quantitativa dei problemi di propagazione, Annali della scuola Norm. Sup. Pisa, I, 1949, pp. 1-40. | Numdam | MR | Zbl

[1] Friedrichs. On the differentiability of the solutions of linear elliptic equations, Comm. pure and appl. Math., t. 6, 1953, pp. 299-326. | MR | Zbl

[2] Friedrichs Asymptotic phenomena in mathematical physics, Bull. Amer. Math Soc., 61, 6, 1955, pp. 485-504. | MR | Zbl

[1] Garding. Dirichlet problem for linear elliptic differential equations Math. Scand., 1, 1953, pp. 55-72. | MR | Zbl

[1] Glasko. Dokladi, 1956, 108, n° 5.

[1] Hille. Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc. Coll. Publi. XXXI, New-York, 1948. | MR | Zbl

[1] Huet D.. Phénomènes de perturbation singulière, Comptes rendus Acad. Sc. Paris, t. 244, 1957, pp. 1438-1440; t. 246, 1958, pp. 2096-2098; t. 247, 1958, pp. 2273-2276,; t. 248, 1959, pp. 58-60. | Zbl

[2] Huet D. Perturbations singulières d'opérateurs elliptiques, Séminaire Lelong, 1958-1959, Paris, pp. 13-01, 13-07. | Numdam

[1] Kato. Perturbation theory of semi-bounded operators. Math. Annalen, 125, 1953, pp. 435-447. | MR | Zbl

[1] Kostomarov. Dokladi, 1957, 115, n° 2.

[1] Lions. Problèmes aux limites en théorie des distributions, Acta Math., t. 94, 1955, pp. 13-153. | MR | Zbl

[2] Lions Sur les problèmes aux limites de dérivées obliques, Annals of Math., t. 64, 1956, pp. 207-239. | MR | Zbl

[3] Lions On elliptis partial differential equations, cours professé à Bombay 1957.

[4] Lions Sur quelques problèmes aux limites, Bull. Sic. Math. de France, t. 83, 1955. | Numdam | Zbl

[5] Lions Problèmes aux limites de type mixte, Coll. sur les équations aux dérivées partielles, Bruxelles 1954, pp. 25-36. | Zbl

[6] Lions Boundary value problems, Technical reports, Lawrence, Kansas, 1957.

[7] Lions Opérateurs de Delsarte et problèmes mixtes, Bull. Soc. Math. de France, t. 84, 1956, pp. 10-95. | Numdam | MR | Zbl

[1] Lions-Schwartz Pb aux limites sur des espaces fibrés. Acta Math., t. 94, pp. 143-147. | Zbl

[1] Morgenstern. Singuläre Störungtheorie partieller Differentialgleichungen, Jour. Rat. mech. and Anal. 5, 1956, pp. 204-216. | MR | Zbl

[1] Moser. Singular perturbation of eigenvalue problems for linear differential equations of even order, Comm. Pure and appl. Math., 8, 1955, pp. 251-278. | MR | Zbl

[1] Nirenberg. Remarks on strongly elliptic partial diff. Equations, Comm. Pure and applied Math., t. 8, 1955, pp. 641-675. | MR | Zbl

[1] Phillips. Perturbation theory for semi-groups of linear operators, Trans. of the amer. Math. Soc., 74, n° 2, 1953, pp. 199-221. | MR | Zbl

[1] Schwartz. Théorie des distributions, tome I, et II, Hermann, Paris. | Zbl

[2] Schwartz. Séminaire, Paris, 1954-1955.

[3] Schwartz. Séminaire, Paris, 1955-1956.

[4] Schwartz. Théorie des Noyaux, à paraître. | Zbl

[5] Schwartz. Ecuaciones diferenciales parciales elipticas, Bogota, 1956. | Zbl

[6] Schwartz. Séminaire, Paris, 1958-1959.

[7] Schwartz. Transformation de Laplace des distributions, Lund, tome Supp. 1952. | Zbl

[8] Schwartz. Lectures on mixed problems in partial differential equations and representations of semi-groups, Bombay, 1958.

[9] Schwartz. Distributions à valeurs vectorielles, Ann. Inst. Fourier, 1957. | Numdam | Zbl

[1] Trèves. Relations de domination entre opérateurs différentiels, Acta Math., 101, 1-2, 1959, p. 1. | MR | Zbl

[1] Visik. Le problème de Cauchy avec des opérateurs comme coefficients, ..., Math. Sbornik, 39, 1956, pp. 51-148. | Zbl

[1] Visik Ladysenskaya. Problèmes aux limites pour équations aux dérivées partielles.. Ouspeki. Math. Naouk, XI, 1956, pp. 41-97.

[1] Visik-Liousternik. Dégénéresence régulière pour les équations différentielles linéaires, avec un petit paramètre, Ouspeki Mat. Naouk, XII, 1957, pp. 1-121.

[1] Yosida. On the differentiability and the représentation of one parameter semi-group of linear operators, Journ. of the Math. Soc. of Japan, 1948, 1, pp. 15-21. | MR | Zbl

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT