Espaces et lignes de Green
Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 199-263.

Les auteurs reprennent deux notes aux C.R. étudiant (en s’inspirant du cas plan simplement connexe traité par Evans) les lignes de Green (trajectoires orthogonales des lignes ou surfaces G p (M)=C te ) et certaines applications. Mais au lieu de se placer dans l’espace euclidien à τ≥2 dim , ils font la théorie dans des espaces E plus généraux, comprenant les surfaces classiques de Riemann, des variétés analogues non orientables et les espaces localement euclidiens à τ dim . On examine surtout parmi ces espaces ceux qui sont pourvus d’une “fonction de Green” et on les appelle espaces de Green ou greeniens. On étend le problème de Dirichlet “ordinaire” à un sous-domaine Ω greenien de E en utilisant comme topologie T, celle de E pourvu d’un point d’Alexandroff s’il n’est compact. Grâce à quelques notions sur le potentiel de Green, on étudie les lignes de Green dans Ω issues du pôle P. Presque toutes (au sens de la mesure angulaire (ou d’angle solide) de départ, dite mesure de Green à un facteur près) admettent pour G la borne inférieure 0 sans rencontrer de zéro de grad G et ont une limite pour G→0. Aux points d’un ensemble e de la frontière de Ω aboutissent des lignes de Green dont la mesure de Green vaut la mesure harmonique de e en P. Cela permet de traiter des extensions du problème de Dirichlet où la frontière est obtenue par complétion à partir d’une métrique convenable dans Ω (problème ramifié ou géodésique). Car elles permettent de vérifier deux conditions fondamentales qui, dans une étude axiomatique de la question, suffisent à étendre les raisonnements du cas classique un peu améliorés. La mesure de Green permet aussi certaines applications par majoration ; citons pour les fonctions holomorphes bornées des extensions de théorèmes (Montel, etc.) sur la nullité ou la convergence à partir de ces propriétés sur une partie de la frontière (remplacées ici par des conditions-limite sur les lignes d’un faisceau de lignes de Green dans une surface de Riemann greenienne).

@article{AIF_1951__3__199_0,
     author = {Brelot, Marcel and Choquet, Gustave},
     title = {Espaces et lignes de {Green}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {199--263},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {3},
     year = {1951},
     doi = {10.5802/aif.38},
     zbl = {0046.32701},
     mrnumber = {16,34e},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.38/}
}
TY  - JOUR
AU  - Brelot, Marcel
AU  - Choquet, Gustave
TI  - Espaces et lignes de Green
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1951
SP  - 199
EP  - 263
VL  - 3
PB  - Imprimerie Durand
PP  - 28 - Luisant
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.38/
DO  - 10.5802/aif.38
LA  - fr
ID  - AIF_1951__3__199_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Brelot, Marcel
%A Choquet, Gustave
%T Espaces et lignes de Green
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1951
%P 199-263
%V 3
%I Imprimerie Durand
%C 28 - Luisant
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.38/
%R 10.5802/aif.38
%G fr
%F AIF_1951__3__199_0
Brelot, Marcel; Choquet, Gustave. Espaces et lignes de Green. Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 199-263. doi : 10.5802/aif.38. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.38/

1. Bader. — La théorie du potentiel sur une surface de Riemann (C. R. Ac. Sc. t. 228, 1949, p. 2001). | MR | Zbl

2. Brelot. — Familles de Perron et problème de Dirichlet (Acta Szeged, IX, 1939, p. 133). | JFM | MR | Zbl

3. Brelot. — Quelques applications aux fonctions holomorphes de la théorie moderne du potentiel et du problème de Dirichlet (Bull. Soc. roy. des Sc. de Liège, 1939, p. 385). | JFM | MR | Zbl

4. Brelot. — Sur la théorie autonome des fonctions sousharmoniques (Bull. Soc. Math. t. 65, 1941, p. 72). | JFM | MR | Zbl

5. Brelot. — Sur le rôle du point à l'infini dans la théorie des fonctions harmoniques (Annales ENS, t. 61, p. 301). | Numdam | MR | Zbl

6. Brelot. — Minorantes sousharmoniques, extrémales et capacités (J. de Math., t. 24, 1944, p. 1). | MR | Zbl

7. Brelot. — Sur l'approximation et la convergence dans la théorie des fonctions harmoniques ou holomorphes (Bull. Soc. Math. de France, t. 73, 1945, p. 55-70). | Numdam | MR | Zbl

8. Brelot. — Le problème de Dirichlet ramifié (Ann. Univ. Grenoble, t. 22, 1946, p. 167). | Numdam | MR | Zbl

9. Brelot. — Le problème de Dirichlet géodésique (C. R., t. 228, 1949, p. 1790). | MR | Zbl

10. Brelot et Choquet. — Lignes de Green et mesure harmonique (C. R., t. 228, 1949, p. 1556). | MR | Zbl

11. G. C. Evans. — The logarithmic potential (Am. Math. Soc., Coll. Public., vol. VI, New-York 1927).

12. G. C. Evans. — Multiple valued harmonic functions in space (Univ. of. Calif., Public, in Math., New Series vol. I n° 8, p. 281-340). | MR | Zbl

13. Heins. — The conformal mapping of simply connected Riemann surfaces Ann. of math., t. 50, 1949, p. 686). | MR | Zbl

14. Kuramochi. — Potential theory and its applications (Usaka. Math. J., vol. 2, 1951, p. 123-175). | MR | Zbl

15. Lavrentieff. — Sur les fonctions d'une variable complexe représentables par des séries de polynomes (Acta sc. et ind. n° 441, Hermann, Paris, 1936). | Zbl

16. De La Vallée Poussin. — Les nouvelles méthodes de la théorie du potentiel et le problème généralisé de Dirichlet (Act. sc. et ind. n° 578, Paris, 1937). | Zbl

17. Nevanlinna. — Über die Lösbarkeit des Dirichletsche Problems für eine Riemannsche Fläche (Nachr. zu Gott. Bd, I, 1938, S 181-193). | JFM | Zbl

18. Nevanlinna. — Über die Anvendung einer Klasse von Integralgleichungen für Existenzbeweise in der Potentialtheorie (Acta Szeged, t. 12, 1950, p. 146-160). | MR | Zbl

19. Ohtsuka. — Dirichlet problems on Riemann surfaces and conformal mappings (Nagoya math. J., vol. 3, 1951, p. 91-137. | MR | Zbl

20. Parreau. — Comportement à la frontière de la fonction de Green d'une surface de Riemann (C. R. Ac. Sc., t. 230 (1950), p. 709). | MR | Zbl

21. Parreau. — La théorie du potentiel sur les surfaces de Riemann à frontière positive (C. R. Ac. Sc., t. 230, 1950, p. 914). | MR | Zbl

22. Parreau. — Sur les moyennes des fonctions harmoniques et analytiques et la classification des surfaces de Riemann (Annales de l'Institut Fourier, t. 3 ; 1951, p. 103-197, ou thèse, Paris, 1952). | Numdam | MR | Zbl

23. Privaloff. — Sur quelques applications de la mesure harmonique à certains problèmes de la théorie des fonctions sousharmoniques (Mat. Svorvik, nouv. série, t. 3, 1938, p. 535). | JFM

24. Sario. — Existence des fonctions d'allure donnée sur une surface de Riemann arbitraire (C. R. Ac. Sc., t. 229, 1949, p. 1293). | MR | Zbl

25. Sario. — Quelques propriétés à la frontière se rattachant à la classification des surfaces de Riemann (C. R. Ac. Sc., t. 230, 1950, p. 42). | MR | Zbl

Cité par Sources :