Les équations d'évolution liées au produit de composition
Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950), pp. 19-49.

Une équation d’évolution d’un système physique est une équation matricielle de la forme

tU(x,t)+|p|mAp(x,t)DxpU(x,t)=B(x,t).

Lorsque les coefficients A ne dépendent que de t, cette équation est un cas particulier de l’équation de composition qui, en termes de distributions, s’écrit :

ddtUx(t)+Ax(t)(x)*Ux(t)=Bx(t).

La méthode pour étudier une telle équation est la transformation de Fourier effectuée pour tout t sur la variable spatiale x seule. On trouve ainsi que le problème de Cauchy relatif aux données initiales pour t=0 n’a jamais plus d’une solution tempérée et on obtient aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’il en ait une. Dans ce cas, il existe une matrice résolvante Rx(t,τ) et la solution d’un problème de Cauchy est donné par

Ux(t)=Rx(t,t0)(x)*Ux(t0)+t0t(Rx(t,τ)(x)*Bx(τ))dτ.

Cette méthode est appliquée aux équations aux dérivées partielles classiques (équation de la chaleur, équation des ondes), dont on obtient aussitôt les solutions, et la solution élémentaire.

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Schwartz, Laurent. Les équations d'évolution liées au produit de composition. Annales de l'Institut Fourier, Tome 2 (1950), pp. 19-49. doi : 10.5802/aif.18. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.18/
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