no. 1
Domaines réguliers du plan
Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 1, pp. 49-55.

Un domaine Ω simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe ∃C>0,∀z 0 ∈C,∀r>0,𝒦 1 (∂Ω∩{|z-z 0 |<r})≤Cr, où ℋ 1 désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle X l’ensemble des couples (Φ,Ω), où Ω est un domaine régulier, et Φ une représentation conforme de R + 2 sur Ω. X 0 est l’ensemble des (Φ,Ω) appartenant à X tels que Ω soit un domaine de Lavrentiev. On pose

𝒟˜={logΦ′;(Φ,Ω)∈X}etℒ˜={LogΦ′;(Φ,Ω)∈X0}.

Nous montrons que 𝒟 ˜ est inclus dans BMOA(R + 2 ) et que ℒ ˜ est l’intérieur de 𝒟 ˜ dans cet espace. Nous montrons de plus qu’il existe un point de 𝒟 ˜ qui n’est pas adhérent à ℒ ˜. Ces résultats complètent et généralisent ceux de l’article “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” paru dans une précédente édition de cette revue.

A plane simply connected domain Ω is called regular if it satisfies the following condition:

∃C,∀z0∈C,∀r>0,ℋ1(∂Ω∩{|z-z0|<r})≤Cr,

where ℋ 1 stands for the one-dimensional Hausdorff measure. Let X be the set of all (Φ,Ω) where Ω is a regular domain and Φ a conformal mapping from R + 2 onto Ω. X 0 is the set of all (Φ,Ω) in X with Ω a Lavrentiev domain. Let

𝒟˜={logΦ′;(Φ,Ω)∈X}andℒ˜={LogΦ′;(Φ,Ω)∈X0}.

We prove that 𝒟 ˜ the subset of BMOA(R + 2 ) and that ℒ ˜ is the interior 𝒟 ˜ in this space. Moreover we prove that 𝒟 ˜ is not contained in the closure of ℒ ˜. These results refine and improve the results of the papar: “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” which has appeared in a preceeding issue of this journal.

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Zinsmeister, Michel. Domaines réguliers du plan. Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 1, pp. 49-55. doi : 10.5802/aif.997. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.997/

[1] L. Ahlfors, Zur Theorie des “Uberlagerungs-flächen”, Acta. Math., 65 (1935), 157-194. | JFM | Zbl

[2] K. Astala, F. Gehring, Injectivity criteria and the quasidisk, Preprint (University of Michigan). | Zbl

[3] A. Baernstein, Univalence and bounded mean oscillation, Mich. Math. Journal, 23 (1976), 217-223. | MR | Zbl

[4] A. Denjoy, Les continus cycliques et la représentation conforme, Bull. Soc. Math de France, 70 (1942), 97-125. | Numdam | MR | Zbl

[5] H. Federer, Geometric measure theory, Springer Verlag, Berlin and New York, 1969. | MR | Zbl

[6] F. Gehring, Spirals and the universal Teichmüller space, Acta Math., 141 (1978), 99-113. | MR | Zbl

[7] C. Pommerenke, Univalent functions, Vanden-hoeck et Ruprecht, Göttingen, 1975.

[8] M. Zinsmeister, Représentation conforme et courbes presque lipschitziennes, Ann Inst. Fourier, 34, 2 (1984), 29-44. | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :