Let be a simple approximately finite dimensional -algebra with unit, let be the group of invertible elements and let be that of unitaries in . We have defined in a previous work a universal determinant of , which is a homomorphism from onto an abelian group associated to . We show here that in element in or in is a product of finitely many commutators if (and only if) In particular, one may thus characterize the kernel of the canonical projection Other results are established about stable -algebras and infinite simple -algebras with unit.
Soient une -algèbre approximativement finie simple avec unité, le groupe des inversibles et le groupe des unitaires de . Nous avons défini dans un précédent travail un homomorphisme , appelé déterminant universel de , de sur un groupe abélien associé à . Nous montrons ici que, pour qu’un élément dans ou dans soit produit d’un nombre fini de commutateurs, il (faut et il) suffit que Ceci permet en particulier d’identifier le noyau de la projection canonique On établit aussi des résultats concernant les -algèbres stables et les -algèbres infinies simples avec unité.
@article{AIF_1984__34_4_169_0, author = {Harpe, Pierre De La and Skandalis, Georges}, title = {Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-alg\`ebres}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {169--202}, publisher = {Imprimerie Durand}, address = {28 - Luisant}, volume = {34}, number = {4}, year = {1984}, doi = {10.5802/aif.993}, zbl = {0536.46044}, mrnumber = {87i:46146b}, language = {fr}, url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.993/} }
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Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges. Produits finis de commutateurs dans les $C^*$-algèbres. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 4, pp. 169-202. doi : 10.5802/aif.993. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.993/
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