no. 4
Improvement of Grauert-Riemenschneider's theorem for a normal surface
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 13-23.

Soit X ˜ une désingularisation d’une surface normale X. Le groupe Pic(X ˜) est muni d’une relation d’ordre L≫ ̲0, définie par L. V≤0 pour tout diviseur effectif exceptionnel V. En comparant avec la relation d’ordre usuelle, nous définissons le plafond de L qui est un diviseur exceptionnel. Cette notion permet d’améliorer le théorème usuel d’annulation et d’en déduire un critère de rationalité et une formule pour le genre d’une courbe sur une surface normale; la difficulté réside dans le cas d’un diviseur de Weil qui n’est pas un diviseur de Cartier.

Let X ˜ be a desingularization of a normal surface X. The group Pic(X ˜) is provided with an order relation L≫ ̲0, defined by L. V≤0 for any effective exceptional divisor V. Comparing to the usual order relation we define the ceiling of L which is an exceptional divisor. This notion allows us to improve the usual vanishing theorem and we deduce from it a numerical criterion for rationality and a genus formula for a curve on a normal surface; the difficulty lies in the case of a Weil divisor which is not a Cartier divisor.

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