no. 2
Sur le théorème des fonctions composées différentiables
Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 229-260.

Soit f:X→Y un morphisme propre relativement algébrique entre espaces semi-analytiques. On montre que si 𝒞 ∞ (Y) désigne l’anneau des fonctions de classe 𝒞 ∞ sur Y, l’image par f de 𝒞 ∞ (Y) est fermée dans 𝒞 ∞ (X) muni de sa topologie naturelle d’espace de Frechet ; ceci généralise un résultat précédent de J.-C. Tougeron (lui-même généralisant un résultat de Glaeser) qui traite du cas semi-algébrique. La méthode est tout à fait analogue et utilise des propriétés algébriques de l’anneau des fonctions Nash-analytiques introduit par Merrien, propriétés démontrées au début de l’article.

Let f:X→Y be a proper relatively algebraic morphism between semi-analytic spaces. If 𝒞 ∞ (Y) is the ring of 𝒞 ∞ -class functions on Y, it is proved that the image of 𝒞 ∞ (Y) by f is closed in 𝒞 ∞ (X) (with his natural topology of Frechet space); this result is a generalization of a recent one by Tougeron (which itself is a generalization of a result by Glaeser); in the Tougeron’s paper, the spaces were supposed semi-algebraic. The method of proof is very similar to the one to Tougeron, and use algebraic properties of the ring of Nash-analytic functions introduced by Merrien; these properties are studied in the beginning of the paper.

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Risler, Jean-Jacques. Sur le théorème des fonctions composées différentiables. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 229-260. doi : 10.5802/aif.877. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.877/

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