no. 4
Processus de naissance avec interaction des voisins, évolution de graphes
Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 4, pp. 187-218.

On définit de nouveaux processus de naissance à temps discret; la population est, à chaque instant, organisée en graphe. Pour obtenir la (n+1)-ième génération on remplace aléatoirement les sommets de la n-ième génération par des graphes que l’on accroche convenablement les uns aux autres. On autorise une certaine dépendance entre les substitutions de sommets voisins. On étudie, pour certains processus surcritiques, la croissance de la population et la structure des graphes générés : sous des hypothèses convenables la fréquence d’apparition d’un sous-graphe déterminé dans la n-ième génération tend, presque sûrement, vers une constante. Ces processus rendent compte de constructions de B. Mandelbrot.

New birth processes are defined. Population at time n is endowed with a graph structure. To obtain the (n+1)-th generation, the vertices of the n-th generation are replaced at random by graphs suitably bound together. Replacements of neighboring vertices may be statistically dependent. The growth of the population is studied and so is the structure of generated graphs: under suitable assumptions, the frequency of appearance of a fixed pattern in the n-th generation tends to a constant with probability one. These processes originate from the work of B. Mandelbrot.

@article{AIF_1981__31_4_187_0,
     author = {Peyri\`ere, Jacques},
     title = {Processus de naissance avec interaction des voisins, \'evolution de graphes},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {187--218},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {31},
     number = {4},
     year = {1981},
     doi = {10.5802/aif.855},
     zbl = {0452.60089},
     mrnumber = {84d:60126},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.855/}
}
TY  - JOUR
AU  - Peyrière, Jacques
TI  - Processus de naissance avec interaction des voisins, évolution de graphes
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1981
SP  - 187
EP  - 218
VL  - 31
IS  - 4
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.855/
DO  - 10.5802/aif.855
LA  - fr
ID  - AIF_1981__31_4_187_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Peyrière, Jacques
%T Processus de naissance avec interaction des voisins, évolution de graphes
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1981
%P 187-218
%V 31
%N 4
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.855/
%R 10.5802/aif.855
%G fr
%F AIF_1981__31_4_187_0
Peyrière, Jacques. Processus de naissance avec interaction des voisins, évolution de graphes. Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 4, pp. 187-218. doi : 10.5802/aif.855. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.855/

[1] K. B. Athreya and P. E. Ney, Branching processes, Springer, New York, 1972. | MR | Zbl

[2] P. Billingsley, Ergodic theory and information, J. Wiley and Sons, 1965. | MR | Zbl

[3] P. Cartier, Fonctions harmoniques sur un arbre, Sympos. math., 9, Calcolo Prob., teor. Turbolenza 1971, pp. 203-270 (1972). | Zbl

[4] T. E. Harris, Some mathematical models for branching processes, Second Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, Univ. Calif. Press 1951. | MR | Zbl

[5] J. Hawkes, Trees generated by a simple branching process, to appear. | Zbl

[6] P. Jagers, Branching processes with biological applications, J. Wiley, 1975. | MR | Zbl

[7] H. Jürgensen, Probabilistic L-systems, Automata, Languages, Development, pp. 211-225. North Holland Publishing Company (1976).

[8] J. R. Kinney and T. S. Pitcher, The dimension of the support of a random distribution function, Bull. Amer. Math. Soc., (1964), 161-164. | MR | Zbl

[9] K. P. Lee and G. Rozenberg, Developmental systems with finite axiom sets, International J. of Computer Mathematics, 4 (1974), 43-48 and 281-304. | MR | Zbl

[10] A. Lindenmayer, Mathematical models of cellular interaction in development, J. theoretical biology, 18 (1968), 280-315.

[11] B. Mandelbrot, Fractals : Form, Chance and Dimension, Freeman and Co. (1977). | MR | Zbl

[12] B. Mandelbrot, Les objects fractals, La Recherche, 9, 85, pp. 1-13.

[13] B. Mandelbrot, Colliers aléatoires et une alternative aux promenades au hasard sans boucle : les cordonnets discrets et fractals, C. R. Acad. Sc., Paris, 286 (1978), 933-936. | MR | Zbl

[14] B. Mandelbrot, Fractal limits of random beadsets and geometric imbedding of birth processes, to appear.

[15] J. Peyriere, Sur les colliers aléatoires de B. Mandelbrot, C. R. Acad. Sc., Paris, 286 (1978), 937-939. | MR | Zbl

[16] J. Peyriere, Mandelbrot random beadsets and birth processes with interaction, I.B.M. Research report, RC-7417.

[17] J. Peyriere, Processus de naissance avec interaction des voisins, C. R. Acad. Sc., Paris, 289 (1979), 223-224 et 557. | MR | Zbl

[18] E. Seneta, Non-negative matrices, J. Wiley (1973).

Cité par Sources :