no. 3
Galois module structure of rings of integers
Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 3, pp. 11-48.

Soit E/F une extension galoisienne de corps de nombres où les diviseurs de (E:F) sont non-ramifiés dans E/Q. On note Γ= Gal (E/F) et 𝒪 E l’anneau des entiers de E. Nous considérons 𝒪 E comme ZΓ-module et nous démontrons que la quatrième puissance de la classe (localement libre) de 𝒪 E est la classe triviale. Afin de démontrer ce résultat, nous utilisons la description de Fröhlich des groupes de classes de modules et son représentant pour la classe des 𝒪 E . De plus, nous développons une nouvelle méthode de congruences sur les déterminants pour les algèbres des groupes cycliques et nous démontrons des congruences correspondantes pour les sommes de Gauss.

Let E/F be a Galois extension of number fields with Γ= Gal(E/F) and with property that the divisors of (E:F) are non-ramified in E/Q. We denote the ring of integers of E by 𝒪 E and we study 𝒪 E as a ZΓ-module. In particular we show that the fourth power of the (locally free) class of 𝒪 E is the trivial class. To obtain this result we use Fröhlich’s description of class groups of modules and his representative for the class of ℰ E , together with new determinantal congruences for cyclic group rings and corresponding congruences for Gauss sums.

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