no. 4
Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien
Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 4, pp. 169-213.

L’article étudie le compactifié de Martin d’un domaine lipschitzien Ω relativement à un opérateur elliptique à coefficients hödériens L ; on étend aux fonctions L-harmoniques et aux fonctions L-harmoniques adjointes sur Ω une estimation de L-Carleson pour le cas L=Δ, puis on établit un “principe de Harnack à la frontière” comparant l’allure à la frontière de fonctions L-harmoniques ≥0 sur Ω. Conséquences : Q∈∂Ω, et normalisée en A 0 ∈Ω ; un théorème de type Fatou-Doob sur l’existence de limites angulaires.

On construit un domaine plan dont les compactifiés relativement à Δ et à ∂ 2 ∂x 2 +2∂ 2 ∂y 2 ne sont pas homéomorphes, et un domaine Ω contenant un angle {z≠0;| Arg t (z)|<α} et tel que {]0,ε];ε>0} ne soit pas une base de filtre convergente dans le compactifié de Ω.

We study the Martin compactification of a Lipschitz domain, with respect to an elliptic operator L: we show, for L-harmonic functions and adjoint L-harmonic functions, an estimate due to L-Carleson when L=Δ. We use that result to obtain a “Harnack Boundary Principle” related to the behaviour of ≥0 L-harmonic functions. We can then obtain, the existence and uniqueness of a L-kernel functions at each Q∈∂Ω, as well as a Fatou-Doob type theorem on non tangential limits for quotients of L-harmonic functions. We construct a planar domain whose Martin compactification with respect to Δ and ∂ 2 ∂x 2 +2∂ 2 ∂y 2 are not homeomorphics, and a domain including an angle {z≠0;| Arg t (z)|<α} such that the net {]0,ε];ε>0} is not converging in the usual compactification of Ω.

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