Familles d'opérateurs potentiels

Hirsch, Francis

doi:10.5802/aif.583

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 263-288.

Résumé
Abstract

Ce travail se compose de trois parties. Dans la première partie nous donnons quelques résultats sur les noyaux-mesure de Hunt sur $R_{+}$ . Nous caractérisons à ce propos les transformées de Laplace des fonctions logarithmiquement convexes et dé-crois-san-tes sur $R_{+}$ . Dans la deuxième partie, nous démontrons que, si $μ$ est un noyau-mesure de Hunt sur $R_{+}$ et si $(P_{t})_{t \geq 0}$ est un semi-groupe à contraction dans un espace de Banach $X$ tel que son générateur infinitésimal soit d’image dense, alors l’opérateur $\int P_{t} d μ (t)$ défini au sens d’Abel (c’est-à-dire de domaine $\{x; {lim}_{λ \to 0} \int e^{- λ t} P_{t} x d μ (t) existe\}$ , et défini par cette limite sur son domaine) est un potentiel abstrait sur $X$ . Les résultats des parties 2 et 3 sont en relation avec des considérations de calcul symbolique que nous explicitons.

This paper has three parts. In the first we give some results concerning the Hunt measure-kernels on $R_{+}$ . For that purpose, we characterize the Laplace transforms of the monotone decreasing logarithmically convex functions on $R_{+}$ . In the second part, we prove that if $μ$ is a Hunt measure-kernel on $R_{+}$ , and if $(P_{t})_{t \geq 0}$ is an integrable Feller semi-group on a locally compact space $Ω$ , $\int P_{t} d μ (t)$ defines a Hunt kernel on $Ω$ . Finally, in the last part, we show that if $μ$ is an abstract measure-potential on $R_{+}$ , of the form $ν + g (t) d t$ , where $ν$ is a totally bounded measure on $R_{+}$ and $g$ a function of bounded variation on $R_{+}$ , and if $(P_{t})_{t \geq 0}$ is a contraction semi-group on a Banach space $X$ such that its infinitesimal generator has dense range, then the operator $\int P_{t} d μ (t)$ defined in the sense of Abel (i.e. with domain $\{x; lim_{λ \to 0} \int e^{- λ t} P_{t} x d μ (t) exists\}$ , and with that limit on preceding domain) is an abstract potential on $X$ . The results of parts 2 and 3 are related with aspects of operational calculus which we discuss in detail.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.583

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Hirsch, Francis. Familles d'opérateurs potentiels. Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 263-288. doi : 10.5802/aif.583. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.583/

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