# ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Régularité des solutions d'une équation parabolique non linéaire avec des contraintes unilatérales sur la frontière
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, pp. 161-192.

Regularity results (${L}^{\infty }$ and Hölder) for solutions of a parabolic inequality are given; this parabolic inequality is a weak formulation of the problem

 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\sum _{i=1}^{N}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}{B}_{i}\left(x,t,u,\nabla u\right)+{B}_{0}\left(x,t,u,\nabla u\right)=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{on}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega ×\right]0,T\left[;\hfill \\ u\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{on}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\partial \Omega ×\right]0,T\left[;\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}u\left(x,0\right)={u}_{0}\left(x\right)\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{on}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega .\hfill \end{array}\right\$

On démontre des résultats de régularité ${L}^{\infty }$ et höldérienne pour la solution d’une inéquation parabolique, formulation faible du problème suivant :

 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\sum _{i=1}^{N}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}{B}_{i}\left(x,t,u,\nabla u\right)+{B}_{0}\left(x,t,u,\nabla u\right)=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{dans}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega ×\right]0,T\left[;\hfill \\ u\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{dans}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\partial \Omega ×\right]0,T\left[;\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}u\left(x,0\right)={u}_{0}\left(x\right)\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{dans}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega .\hfill \end{array}\right\$

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Beirao Da Veiga, Hugo; Dias, Joao Paulo. Régularité des solutions d'une équation parabolique non linéaire avec des contraintes unilatérales sur la frontière. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, pp. 161-192. doi : 10.5802/aif.437. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.437/`

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Cited by Sources: