Groups of smooth diffeomorphisms of Cantor sets embedded in a line
[Groupes de difféomorphismes d’ensembles de Cantor plongés dans une droite]
Malicet, Dominique1 ; Militon, Emmanuel2
1Univ Gustave Eiffel, Univ Paris Est Creteil, CNRS, LAMA UMR8050, 77447 Marne-la-Vallée (France)
2Université Côte d’Azur, laboratoire J. A. Dieudonné, CNRS UMR 7351 Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Online first, 41 p.

Let $K$ be a Cantor set embedded in the real line $\mathbb{R}$. Following Funar and Neretin, we define the diffeomorphism group of $K$ as the group of homeomorphisms of $K$ which locally look like a diffeomorphism between two intervals of $\mathbb{R}$. Higman–Thompson’s groups $V_{n}$ appear as subgroups of such groups. In this article, we prove some properties of this group. First, we study the Burnside problem in this group and we prove that any finitely generated subgroup consisting of finite order elements is finite. This property was already proved by Rover in the case of the groups $V_{n}$. We also prove that any finitely generated subgroup $H$ without free subsemigroup on two generators is virtually abelian. The corresponding result for the groups $V_{n}$ was unknown to our knowledge. As a consequence, those groups do not contain nilpotent groups which are not virtually abelian.

Soit $K$ un ensemble de Cantor plongé dans la droite réelle $\mathbb{R}$. Comme Funar et Neretin, nous définissons le groupe des difféomorphismes de $K$ comme le groupe des homéomorphismes de $K$ qui coïncident localement avec des difféomorphismes entre deux intervalles de $\mathbb{R}$. Les groupes de Higman–Thompson $V_n$ apparaissent comme des sous-groupes de tels groupes. Dans cet article, nous démontrons quelques propriétés de ce groupe. Tout d’abord, nous étudions le problème de Burnside pour de tels groupes et nous démontrons que tout sous-groupe de type fini qui n’a que des éléments d’ordre fini est fini. Nous démontrons également que tout sous-groupe de type fini sans sous-semigroupe libre à deux générateurs est virtuellement abélien. À notre connaissance, le résultat correspondant pour les groupes $V_n$ n’était pas connu. En conséquence, ces groupes ne contiennent pas de sous-groupes nilpotents non virtuellement abéliens.

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Première publication :
DOI : 10.5802/aif.3768
Classification : 37C85, 57S25
Keywords: dynamical systems, groups, diffeomorphism
Mots-clés : systèmes dynamiques, groupes, difféomorphismes

Malicet, Dominique  1   ; Militon, Emmanuel  2

1 Univ Gustave Eiffel, Univ Paris Est Creteil, CNRS, LAMA UMR8050, 77447 Marne-la-Vallée (France)
2 Université Côte d’Azur, laboratoire J. A. Dieudonné, CNRS UMR 7351 Parc Valrose, 06108 Nice Cedex 2 (France) 
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     author = {Malicet, Dominique and Militon, Emmanuel},
     title = {Groups of smooth diffeomorphisms of {Cantor} sets embedded in a line},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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TY  - UNPB
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TI  - Groups of smooth diffeomorphisms of Cantor sets embedded in a line
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PY  - 2026
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
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Malicet, Dominique; Militon, Emmanuel. Groups of smooth diffeomorphisms of Cantor sets embedded in a line. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 41 p.

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