Homoclinic bifurcation in Morse–Novikov theory, a doubling phenomenon
[Bifurcation homocline en théorie de Morse–Novikov, Un phénomène de dédoublement]
Laudenbach, François1 ; Moraga Ferrándiz, Carlos2
1 Université de Nantes, LMJL, UMR 6629 du CNRS, 44322 Nantes (France)
2 Lycée Jacques Prévert, 17 rue Joseph Malègue, 44260 Savenay (France)
Annales de l'Institut Fourier, Online first, 51 p.

We consider a compact manifold of dimension greater than 2 with a differential form of degree one which is closed but non-exact. This form, viewed as a multi-valued real function has a gradient vector field with respect to any Riemannian metric. After S. Novikov’s work and a complement by J.-C. Sikorav, under some genericness assumptions, this data yields a complex, called today the Morse–Novikov complex. Due to the non-exactness of the form, its gradient may have a homoclinic orbit. The one-form being fixed, we investigate the codimension-one stratum, in the space of gradients, formed by those having only one simple homoclinic orbit. The crossing of such a stratum has a subtle effect on the Morse–Novikov complex: some crossing may creates infinitely many new heteroclinic orbits; and some simple homoclinic orbit may be approached by simple homoclinic orbits of double energy. These latter two phenomena are linked.

On considère une variété compacte de dimension plus grande que 2 munie d’une 1-forme différentielle fermée non-exacte. Cette forme, vue comme une fonction réelle multivaluée, a un champ de gradient pour toute métrique riemannienne. D’après S. Novikov et un complément de J.-C. Sikorav, sous des hypothèses convenables de généricité, il découle de ces données un complexe appelé aujourd’hui le complexe de Morse–Novikov. La non-exactitude de la 1-forme permet des orbites homoclines. Nous étudions la strate, de codimension-un dans l’espace des gradients, formée de ceux qui ont une orbite homocline simple. Son croisement a un effet subtil sur le complexe de Morse–Novikov : il peut créer une infinité d’orbites hétéroclines ; par ailleurs, une orbite homocline simple peut être approchée pa des orbites homoclines simples d’énergie double. Ces deux phénomènes sont reliés.

Reçu le :
Accepté le :
Première publication :
DOI : 10.5802/aif.3727
Classification : 34C37, 37C29, 37D15
Keywords: closed one-form, Morse–Novikov theory, Kupka–Smale gradient, homoclinic bifurcation, holonomy
Mots-clés : $1$-forme fermée, théorie de Morse–Novikov, gradient Kupka–Smale, bifurcation homocline, holonomie

Laudenbach, François 1 ; Moraga Ferrándiz, Carlos 2

1 Université de Nantes, LMJL, UMR 6629 du CNRS, 44322 Nantes (France)
2 Lycée Jacques Prévert, 17 rue Joseph Malègue, 44260 Savenay (France) 
@unpublished{AIF_0__0_0_A15_0,
     author = {Laudenbach, Fran\c{c}ois and Moraga Ferr\'andiz, Carlos},
     title = {Homoclinic bifurcation in {Morse{\textendash}Novikov} theory, a doubling phenomenon},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     year = {2025},
     doi = {10.5802/aif.3727},
     language = {en},
     note = {Online first},
}
TY  - UNPB
AU  - Laudenbach, François
AU  - Moraga Ferrándiz, Carlos
TI  - Homoclinic bifurcation in Morse–Novikov theory, a doubling phenomenon
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2025
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
N1  - Online first
DO  - 10.5802/aif.3727
LA  - en
ID  - AIF_0__0_0_A15_0
ER  - 
%0 Unpublished Work
%A Laudenbach, François
%A Moraga Ferrándiz, Carlos
%T Homoclinic bifurcation in Morse–Novikov theory, a doubling phenomenon
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2025
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%Z Online first
%R 10.5802/aif.3727
%G en
%F AIF_0__0_0_A15_0
Laudenbach, François; Moraga Ferrándiz, Carlos. Homoclinic bifurcation in Morse–Novikov theory, a doubling phenomenon. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 51 p.

[1] Farber, Michael Topology of Closed One-Forms, Mathematical Surveys and Monographs, 108, American Mathematical Society, 2004 | Zbl

[2] Hutchings, Michael Reidemeister torsion in generalized Morse theory, Forum Math., Volume 14 (2002) no. 2, pp. 209-244 | DOI | Zbl

[3] Latour, François Existence de 1-formes fermées non singulières dans une classe de cohomologie de de Rham, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 80 (1995), pp. 135-194 | DOI | Zbl

[4] Laudenbach, François Transversalité, courants et théorie de Morse. Un cours de topologie différentielle, Éditions de l’École polytechnique, 2012 | Zbl

[5] Laudenbach, François; Moraga Ferrándiz, Carlos A geometric Morse–Novikov complex with infinite series coefficients, C. R. Math., Volume 356 (2018) no. 11-12, pp. 1222-1227 | DOI | Zbl

[6] Malgrange, Bernard Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research. Studies in Mathematics, 3, Tata Institute of Fundamental Research; Oxford University Press, 1966 | MR | Zbl

[7] Moraga Ferrándiz, Carlos Contribution à une théorie de Morse–Novikov à paramètre, Ph. D. Thesis, Université de Nantes, France (2012) http://hal.archives-ouvertes.fr/tel-00768575/

[8] Novikov, Sergeĭ P. Multivalued functions and functionals. An analogue of the Morse theory, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 260 (1981), pp. 31-35 | MR | Zbl

[9] Palis, Jacob jun.; de Melo, Welington Geometric theory of dynamical systems. An introduction, Springer, 1982 | DOI | MR | Zbl

[10] Peixoto, Mauricio M. On an approximation theorem of Kupka and Smale, J. Differ. Equations, Volume 3 (1966), pp. 214-227 | DOI | MR | Zbl

[11] Shil’nikov, Leonid P. On the generation of a periodic motion from trajectories doubly asymptotic to an equilibrium state of saddle type, Math. USSR, Sb., Volume 6 (1970), pp. 427-438 | DOI | Zbl

[12] Sikorav, Jean-Claude Points fixes de difféomorphismes symplectiques, intersections de sous-variétés lagrangiennes, et singularités de 1-formes fermées, thèse d’État, Université Paris-Sud (Orsay), Paris (France) (1987) (https://www.numdam.org/item/?id=BJHTUP11_1987__0220__P0_0) | Numdam

[13] Whitney, Hassler Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets, Trans. Am. Math. Soc., Volume 36 (1934), pp. 63-89 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :