On the rigidity of invariant norms on the p-adic Schrödinger representation
[Sur la rigidité des normes invariantes dans la représentation de Schrödinger p-adique]
Ophir, Amit1
1 Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem, Givat Ram. Jerusalem, 9190401 (Israel)
Annales de l'Institut Fourier, Online first, 47 p.

Motivés par des questions sur la transformée de Fourier à valeurs dans ℂ p sur le groupe localement compact (ℚ p d ,+), nous étudions les normes invariantes dans la représentation de Schrödinger p-adique du groupe de Heisenberg. Notre principal résultat est une propriété de minimalité et de rigidité pour les normes dans une famille de normes invariantes paramétrées par une Grassmannienne. Cette famille est l’orbite de la norme uniforme sous l’action du groupe symplectique, agissant via des opérateurs d’entrelacement. Nous prouvons également des propriétés fondamentales générales des quotients de la complétion unitaire universelle des représentations algébriques cycliques. Combinées à la propriété de rigidité, nous sommes en mesure de montrer que la complétion de la représentation de Schrödinger dans chacune des normes de cette famille satisfait une notion forte d’irréductibilité et une version du lemme de Schur. Nous étudions également les normes qui peuvent être obtenues comme le maximum d’un nombre fini de normes de cette famille. Nous concluons cet article par une liste de questions ouvertes.

Motivated by questions about ℂ p -valued Fourier transform on the locally compact group (ℚ p d ,+), we study invariant norms on the p-adic Schrödinger representation of the Heisenberg group. Our main result is a minimality and rigidity property for norms in a family of invariant norms parameterized by a Grassmannian. This family is the orbit of the sup norm under the action of the symplectic group, acting via intertwining operators. We also prove general fundamental properties of quotients of the universal unitary completion of cyclic algebraic representations. Combined with the rigidity property, we are able to show that the completion of the Schrödinger representation in any of the norms in that family satisfies a strong notion of irreducibility and a version of Schur’s lemma. Norms that can be formed as the maximum of a finite number of norms from that family are also studied. We conclude this paper with a list of open questions.

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Première publication :
DOI : 10.5802/aif.3701
Classification : 46S10, 22D12, 05A30
Keywords: $p$-adic analysis, Schrödinger representations, invariant norms, $q$-analogs
Mots-clés : analyse $p$-adique, représentations de Schrödinger, normes invariantes, $q$-analogues

Ophir, Amit 1

1 Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem, Givat Ram. Jerusalem, 9190401 (Israel) 
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     author = {Ophir, Amit},
     title = {On the rigidity of invariant norms on the $p$-adic {Schr\"odinger} representation},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Ophir, Amit. On the rigidity of invariant norms on the $p$-adic Schrödinger representation. Annales de l'Institut Fourier, Online first, 47 p.

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