no. 1
Valuation augmentée, paire minimale et valuation approchée
Vaquié, Michel1
1Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219 CNRS, Université de Toulouse 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 9 (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 76 (2026) no. 1, pp. 341-395

Soit $(K,\nu )$ un corps valué, les notions de valuation augmentée, de valuation augmentée limite et de famille admise de valuations permettent de donner une description de toute valuation $\mu $ de $K[x]$ prolongeant $\nu $. Dans le cas où le corps $K$ est algébriquement clos cette description est particulièrement simple et nous pouvons la réduire aux notions de paire minimale et de famille pseudo-convergente.

Soient $(K,\nu )$ un corps valué hensélien et $\bar{\nu }$ l’unique extension de $\nu $ à la clôture algébrique $\bar{K}$ de $K$ et soit $\mu $ une valuation de $K[x]$ prolongeant $\nu $, nous étudions les extensions $\bar{\mu }$ de $\mu $ à $\bar{K}[x]$ et nous donnons une description des valuations $\bar{\mu } _i$ de $\bar{K}[x]$ qui sont les extensions des valuations $\mu _i$ appartenant à la famille admise associée à $\mu $.

Let $(K, \nu )$ be a valued field, the notions of augmented valuation, of limit augmented valuation and of admissible family of valuations enable to give a description of any valuation $\mu $ of $K [x]$ extending $\nu $. In the case where the field $K$ is algebraically closed, this description is particularly simple and we can reduce it to the notions of minimal pair and pseudo-convergent family.

Let $(K, \nu )$ be a henselian valued field and $\bar{\nu }$ the unique extension of $\nu $ to the algebraic closure $\bar{K}$ of $K$ and let $\mu $ be a valuation of $ K [x]$ extending $\nu $, we study the extensions $\bar{\mu }$ from $\mu $ to $\bar{K} [x]$ and we give a description of the valuations $\bar{\mu } _i$ of $\bar{K} [x]$ which are the extensions of the valuations $\mu _i$ belonging to the admissible family associated with $\mu $.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Première publication :
Publié le :
DOI : 10.5802/aif.3686
Classification : 13A18, 12J10, 14E15
Mots-clés : valuation, extension, famille admise, paire minimale
Keywords: valuation, extension, admissible family, minimal pair

Vaquié, Michel  1

1 Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219 CNRS, Université de Toulouse 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 9 (France)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
@article{AIF_2026__76_1_341_0,
     author = {Vaqui\'e, Michel},
     title = {Valuation augment\'ee, paire minimale et valuation approch\'ee},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {341--395},
     year = {2026},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {76},
     number = {1},
     doi = {10.5802/aif.3686},
     language = {fr},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3686/}
}
TY  - JOUR
AU  - Vaquié, Michel
TI  - Valuation augmentée, paire minimale et valuation approchée
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2026
SP  - 341
EP  - 395
VL  - 76
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3686/
DO  - 10.5802/aif.3686
LA  - fr
ID  - AIF_2026__76_1_341_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Vaquié, Michel
%T Valuation augmentée, paire minimale et valuation approchée
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2026
%P 341-395
%V 76
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3686/
%R 10.5802/aif.3686
%G fr
%F AIF_2026__76_1_341_0
Vaquié, Michel. Valuation augmentée, paire minimale et valuation approchée. Annales de l'Institut Fourier, Tome 76 (2026) no. 1, pp. 341-395. doi: 10.5802/aif.3686

[1] Abhyankar, Shreeram S.; Moh, Tzuong-tsieng Newton-Puiseux expansion and generalized Tschirnhausen transformation. I, J. Reine Angew. Math., Volume 260 (1973), pp. 47-83 https://eudml.org/doc/151312 | Zbl

[2] Abhyankar, Shreeram S.; Moh, Tzuong-tsieng Newton-Puiseux expansion and generalized Tschirnhausen transformation. II, J. Reine Angew. Math., Volume 261 (1973), pp. 29-54 | Zbl | MR

[3] Alexandru, Victor; Popescu, Nicolae Sur une classe de prolongements à K(X) d’une valuation sur un corps K, Rev. Roum. Math. Pures Appl., Volume 33 (1988) no. 5, pp. 393-400 | MR | Zbl

[4] Decaup, Julie; Mahboub, Wael; Spivakovsky, Mark Abstract key polynomials and comparison theorems with the key polynomials of MacLane-Vaquié, Ill. J. Math., Volume 62 (2018) no. 1-4, pp. 253-270 | DOI | Zbl | MR

[5] Herrera Govantes, Francisco Javier; Mahboub, Wael; Olalla Acosta, Miguel Ángel; Spivakovsky, Mark Key polynomials for simple extensions of valued fields, J. Singul., Volume 25 (2022), pp. 197-267 | DOI | Zbl | MR

[6] Herrera Govantes, Francisco Javier; Olalla Acosta, Miguel Ángel; Spivakovsky, Mark Valuations in algebraic field extensions, J. Algebra, Volume 312 (2007) no. 2, pp. 1033-1074 idus.us.es/xmlui/handle/11441/42031 | DOI | Zbl | MR

[7] Kaplansky, Irving Maximal fields with valuations, Duke Math. J., Volume 9 (1942), pp. 303-321 | DOI | Zbl

[8] Kuhlmann, Franz-Viktor Value groups, residue fields, and bad places of rational function fields, Trans. Am. Math. Soc., Volume 356 (2004) no. 11, pp. 4559-4600 | DOI | Zbl | MR

[9] Lê, Dũng Tráng La monodromie n’a pas de points fixes, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, Sect. I A, Volume 22 (1975), pp. 409-427 | Zbl | MR

[10] Lê, Dũng Tráng The geometry of the monodromy theorem, C. P. Ramanujam – A tribute (Ramanathan, Kollagunta G., ed.) (Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics), Volume 8, Springer, 1978, pp. 157-173 | Zbl

[11] MacLane, Saunders A construction for absolute values in polynomial rings, Trans. Am. Math. Soc., Volume 40 (1936), pp. 363-395 | DOI | Zbl | MR

[12] MacLane, Saunders A construction for prime ideals as absolute values of an algebraic field, Duke Math. J., Volume 2 (1936), pp. 492-510 | Zbl | DOI

[13] Nagata, Makoto A theorem on valuation rings and its applications, Nagoya Math. J., Volume 29 (1967), pp. 85-91 | DOI | Zbl | MR

[14] Novacoski, Josnei Key polynomials and minimal pairs, J. Algebra, Volume 523 (2019), pp. 1-14 | Zbl | DOI | MR

[15] Ohm, Jack The ruled residue theorem for simple transcendental extensions of valued fields, Proc. Am. Math. Soc., Volume 89 (1983), pp. 16-18 | DOI | Zbl | MR

[16] Ostrowski, Alexander Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper, Math. Z., Volume 39 (1935) no. 1, pp. 269-404 | DOI | Zbl

[17] Vaquié, Michel Famille admise associée à une valuation de K[x], Singularités Franco-Japonaises (Séminaires et Congrès), Volume 10, Société Mathématique de France, 2005, pp. 391-428 smf4.emath.fr/en/publications/seminairescongres/2005/10/html/smf_sem-cong_10_391-428.htm/... | Zbl

[18] Vaquié, Michel Algèbre graduée associée à une valuation de K[x], Singularities in geometry and topology 2004. Proceedings of the 3rd Franco-Japanese colloquium on singularities, Hokkaido, Japan, September 13–18, 2004 (Adv. Stud. Pure Math.), Volume 46, Mathematical Society of Japan, 2007, pp. 259-271 | MR | Zbl

[19] Vaquié, Michel Extension d’une valuation, Trans. Am. Math. Soc., Volume 359 (2007) no. 7, pp. 3439-3481 | DOI | Zbl

[20] Vaquié, Michel Famille admissible de valuations et défaut d’une extension, J. Algebra, Volume 311 (2007) no. 2, pp. 859-876 | DOI | Zbl | MR

[21] Vaquié, Michel Extensions de valuation et polygone de Newton, Ann. Inst. Fourier, Volume 58 (2008) no. 7, pp. 2503-2541 https://eudml.org/doc/10385 | DOI | Zbl | MR | Numdam

[22] Vaquié, Michel Famille admise associé à une valuation de K(X), Bull. Lond. Math. Soc., Volume 52 (2020) no. 5, pp. 977-992 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :