Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on $L_{p}$-spaces

Lavy, Omer; Olivier, Baptiste

doi:10.5802/aif.3348

Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on

L_{p}

-spaces
[Le spectre des points fixes pour les actions de groupes par isométries affines sur les espaces

L_{p}

]

Lavy, Omer ¹ ; Olivier, Baptiste ²

¹ Weizmann Institute of Science Department of Mathematics Herzl St 234, Rehovot (Israel)
² Orange Labs 4 rue clos courtel 35510 Rennes (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 71 (2021) no. 1, pp. 1-26.

Résumé
Abstract

Le spectre des points fixes d’un groupe localement compact à base dénombrable $G$ est défini comme l’ensemble des $p \geq 1$ tels que chaque action par isométries affines de $G$ sur $ℓ_{p}$ admet un point fixe. Nous montrons que cet ensemble est soit vide, soit peut s’écrire sous une des formes suivantes : $[1, p_{c} [$ , $[1, p_{c} [∖ {2}$ pour un certain $1 \leq p_{c} \leq \infty$ , ou $[1, p_{c}]$ , $[1, p_{c}] ∖ {2}$ pour un certain $1 \leq p_{c} < \infty$ . Ce résultat est en lien étroit avec la conjecture de C. Drutu affirmant que le spectre des points fixes est un ensemble connexe pour les actions isométriques sur $L_{p} (0, 1)$ .

Plus généralement, nous étudions les propriétés topologiques du spectre des points fixes sur $L_{p} (X, μ)$ pour des espaces mesurés arbitraires $(X, μ)$ , et nous montrons des résultats partiels dans le sens de la conjecture pour les actions sur $L_{p} (0, 1)$ . En particulier, nous prouvons que le spectre associé aux actions dont la partie linéaire est $π$ est soit vide, soit un intervalle de la forme $[1, p_{c}]$ ( $p_{c} \geq 1$ ) ou $[1, \infty [$ , dès que $π$ est une représentation orthogonale associée à une action ergodique préservant la mesure sur un espace mesuré $(X, μ)$ de mesure finie.

The fixed-point spectrum of a locally compact second countable group $G$ on $ℓ_{p}$ is defined to be the set of $p \geq 1$ such that every action by affine isometries of $G$ on $ℓ_{p}$ admits a fixed-point. We show that this set is either empty, or is equal to a set of one of the following forms: $[1, p_{c} [$ , $[1, p_{c} [∖ {2}$ for some $1 \leq p_{c} \leq \infty$ , or $[1, p_{c}]$ , $[1, p_{c}] ∖ {2}$ for some $1 \leq p_{c} < \infty$ . This result is closely related to a conjecture of C. Drutu which asserts that the fixed-point spectrum is connected for isometric actions on $L_{p} (0, 1)$ .

More generally, we study the topological properties of the fixed-point spectrum on $L_{p} (X, μ)$ for general measure spaces $(X, μ)$ , and show partial results toward the conjecture for actions on $L_{p} (0, 1)$ . In particular, we prove that the spectrum associated with actions with linear part $π$ is either empty, or an interval of the form $[1, p_{c}]$ ( $p_{c} \geq 1$ ) or $[1, \infty [$ , whenever $π$ is an orthogonal representation associated to a measure-preserving ergodic action on a finite measure space $(X, μ)$ .

Reçu le : 2015-03-29
Révisé le : 2017-08-18
Accepté le : 2019-12-20
Publié le : 2021-06-07

DOI : 10.5802/aif.3348

Classification : 22D10, 22D12, 20CXX
Keywords: Groups with property $(T)$, orthogonal representations on $L_p$-spaces
Mot clés : Groupes avec la propriété $(T)$, représentations orthogonales sur les espaces $L_p$

Affiliations des auteurs :

Lavy, Omer ¹ ; Olivier, Baptiste ²

¹ Weizmann Institute of Science Department of Mathematics Herzl St 234, Rehovot (Israel)
² Orange Labs 4 rue clos courtel 35510 Rennes (France)

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{AIF_2021__71_1_1_0,
     author = {Lavy, Omer and Olivier, Baptiste},
     title = {Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on $L_{p}$-spaces},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {1--26},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {71},
     number = {1},
     year = {2021},
     doi = {10.5802/aif.3348},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3348/}
}

TY  - JOUR
AU  - Lavy, Omer
AU  - Olivier, Baptiste
TI  - Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on $L_{p}$-spaces
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2021
SP  - 1
EP  - 26
VL  - 71
IS  - 1
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3348/
DO  - 10.5802/aif.3348
LA  - en
ID  - AIF_2021__71_1_1_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Lavy, Omer
%A Olivier, Baptiste
%T Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on $L_{p}$-spaces
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2021
%P 1-26
%V 71
%N 1
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3348/
%R 10.5802/aif.3348
%G en
%F AIF_2021__71_1_1_0

Lavy, Omer; Olivier, Baptiste. Fixed-point spectrum for group actions by affine isometries on $L_{p}$-spaces. Annales de l'Institut Fourier, Tome 71 (2021) no. 1, pp. 1-26. doi : 10.5802/aif.3348. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3348/

Bibliographie
Cité par

[1] Bader, Uri; Furman, Alex; Gelander, Tsachik; Monod, Nicolas et al. Property (T) and rigidity for actions on Banach spaces, Acta Math., Volume 198 (2007) no. 1, pp. 57-105 | DOI | MR | Zbl

[2] Bader, Uri; Gelander, Tsachik; Monod, Nicolas A fixed point theorem for $L_{1}$ -spaces, Invent. Math., Volume 189 (2012) no. 1, pp. 143-148 | DOI

[3] Bader, Uri; Nowak, Piotr W. Cohomology of deformations, J. Topol. Anal., Volume 7 (2015) no. 01, pp. 81-104 | DOI | MR | Zbl

[4] Bekka, Bachir; de La Harpe, Pierre; Valette, Alain Kazhdan’s property (T), 11, Cambridge University Press, 2008 | MR | Zbl

[5] Bekka, Bachir; Olivier, Baptiste On groups with property ( $T_{ℓ_{p}}$ ), J. Funct. Anal., Volume 267 (2014) no. 3, pp. 643-659 | DOI | Zbl

[6] Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram Geometric nonlinear functional analysis, 48, American Mathematical Society, 1998 | Zbl

[7] Bourdon, Marc Cohomologie et actions isométriques propres sur les espaces $L_{p}$ , Geometry, Topology, and Dynamics in Negative Curvature (London Mathematical Society Lecture Note Series), Volume 425, Cambridge University Press, 2016, 84 pages | DOI | MR | Zbl

[8] Bourdon, Marc; Martin, Florian; Valette, Alain Vanishing and non-vanishing for the first $L^{p}$ -cohomology of groups, Comment. Math. Helv., Volume 80 (2005) no. 2, pp. 377-389 | DOI | MR | Zbl

[9] Chatterji, Indira; Drutu, Cornelia; Haglund, Frédéric Kazhdan and Haagerup properties from the median viewpoint (2007) (https://arxiv.org/abs/0704.3749) | Zbl

[10] Connes, Alain; Weiss, Benjamin Property T and asymptotically invariant sequences, Isr. J. Math., Volume 37 (1980) no. 3, pp. 209-210 | DOI | MR | Zbl

[11] Czuron, Alan Property $({F L}_{p})$ implies property $({F L}_{q})$ for $1 < q < p < \infty$ (2014) (https://arxiv.org/abs/1409.4609) | Zbl

[12] Gromov, Mikhael Geometric group theory. Volume 2: Asymptotic invariants of infinite groups, London Mathematical Society Lecture Note Series, 182, Cambridge University Press, 1993, pp. 1-295 | Zbl

[13] Heinrich, Stefan Ultraproducts in Banach space theory, Zentralinst. für Math. und Mechanik, 1979 | Zbl

[14] de Laat, Tim; de la Salle, Mikael Strong property (T) for higher-rank simple Lie groups, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 111 (2015) no. 4, pp. 936-966 | DOI | MR | Zbl

[15] Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior Classical Banach spaces II: function spaces, 97, Springer, 2013 | Zbl

[16] Mimura, Masato Fixed point properties and second bounded cohomology of universal lattices on Banach spaces, J. Reine Angew. Math., Volume 2011 (2011) no. 653, pp. 115-134 | MR | Zbl

[17] Mimura, Masato Fixed point property for universal lattice on Schatten classes, Proc. Am. Math. Soc., Volume 141 (2013) no. 1, pp. 65-81 | DOI | MR | Zbl

[18] Naor, Assaf; Peres, Yuval et al. $L_{p}$ compression, traveling salesmen, and stable walks, Duke Math. J., Volume 157 (2011) no. 1, pp. 53-108 | MR | Zbl

[19] Nica, Bogdan Proper isometric actions of hyperbolic groups on $L^{p}$ -spaces, Compos. Math., Volume 149 (2013) no. 5, pp. 773-792 | DOI | MR

[20] Nowak, Piotr W. Group actions on Banach spaces (2013) (https://arxiv.org/abs/1302.6609)

[21] Olivier, Baptiste Kazhdanś property (T) with respect to non-commutative $L_{p}$ -spaces, Proc. Am. Math. Soc., Volume 140 (2012) no. 12, pp. 4259-4269 | DOI | MR | Zbl

[22] Olivier, Baptiste Rigidité et non-rigidité d’actions de groupes sur les espaces Lp non-commutatifs, Ph. D. Thesis, Rennes 1 (France) (2013)

[23] Ricard, Éric Hölder estimates for the noncommutative Mazur maps, Arch. Math., Volume 104 (2015) no. 1, pp. 37-45 | DOI | Zbl

[24] Yu, Guoliang Hyperbolic groups admit proper affine isometric actions on $ℓ_{p}$ -spaces (2004) (https://arxiv.org/abs/math/0411234)

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT