no. 2
Convergence and Counting in Infinite Measure
[Convergence et comptage en mesure infinie]
Dal’bo, Françoise1 ; Peigné, Marc2 ; Picaud, Jean-Claude2 ; Sambusetti, Andrea3
1 IRMAR, Université de Rennes-I Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex (France)
2 LMPT, UMR 6083 Faculté des Sciences et Techniques Parc de Grandmont 37200 Tours (France)
3 Istituto di Matematica G. Castelnuovo Sapienza Università di Roma P.le Aldo Moro 5 00185 Roma (Italy)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 2, pp. 483-520.

Nous construisons des réseaux non uniformes et convergents Γ d’isométries d’une variété d’Hadamard à courbure strictement négative et pincée de dimension N≥2 quelconque. Ces réseaux sont dits exotiques, au sens où ils possèdent des sous-groupes paraboliques maximaux P<Γ d’exposant critique δ(P)=δ(Γ). Nous donnons aussi des examples explicites de réseaux exotiques non uniformes et divergents en dimension N=2. Enfin, nous étudions une classe particulières de tels réseaux exotiques non uniformes et divergents dont la mesure de Bowen–Margulis est infinie et dont les « cusps » présentent un profile asymptotique particulier, satisfaisant une propriété de « queue lourde », et proposons une estimation précise du comportement asymptotique de leur fonction orbitale ; plus précisément, nous montrons que leur fonction orbitale croît de façon sous-exponentielle avec un comportement à l’infini de la forme ≍e δ Γ R R 1-κ L(R), où L est une fonction à variations lentes.

We construct non-uniform convergent lattices Γ of pinched, negatively curved Hadamard spaces, in any dimension N≥2. These lattices are exotic, by which we mean that they have a maximal parabolic subgroup P<Γ such that δ(P)=δ(Γ). We also give examples of divergent, non-uniform exotic lattices in dimension N=2. Finally, we consider a particular class of such exotic lattices, with infinite Bowen–Margulis measure and whose cusps have a particular asymptotic profile (satisfying a “heavy tail condition”), and we give precise estimates of their orbital function; namely, we show that their orbital function is lower exponential with asymptotic behaviour ≍e δ Γ R R 1-κ L(R), for a slowly varying function L.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/aif.3089
Classification : 58F17, 58F20, 20H10
Keywords: Poincaré exponent, convergent/divergent groups, Bowen–Margulis measure, orbital function
Mot clés : Exposant de Poincaré, groupe convergent/divergent, mesure de Bowen–Margulis, fonction orbitale

Dal’bo, Françoise 1 ; Peigné, Marc 2 ; Picaud, Jean-Claude 2 ; Sambusetti, Andrea 3

1 IRMAR, Université de Rennes-I Campus de Beaulieu 35042 Rennes Cedex (France)
2 LMPT, UMR 6083 Faculté des Sciences et Techniques Parc de Grandmont 37200 Tours (France)
3 Istituto di Matematica G. Castelnuovo Sapienza Università di Roma P.le Aldo Moro 5 00185 Roma (Italy)
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{AIF_2017__67_2_483_0,
     author = {Dal{\textquoteright}bo, Fran\c{c}oise and Peign\'e, Marc and Picaud, Jean-Claude and Sambusetti, Andrea},
     title = {Convergence and {Counting} in {Infinite} {Measure}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {483--520},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {67},
     number = {2},
     year = {2017},
     doi = {10.5802/aif.3089},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3089/}
}
TY  - JOUR
AU  - Dal’bo, Françoise
AU  - Peigné, Marc
AU  - Picaud, Jean-Claude
AU  - Sambusetti, Andrea
TI  - Convergence and Counting in Infinite Measure
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2017
SP  - 483
EP  - 520
VL  - 67
IS  - 2
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3089/
DO  - 10.5802/aif.3089
LA  - en
ID  - AIF_2017__67_2_483_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Dal’bo, Françoise
%A Peigné, Marc
%A Picaud, Jean-Claude
%A Sambusetti, Andrea
%T Convergence and Counting in Infinite Measure
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2017
%P 483-520
%V 67
%N 2
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3089/
%R 10.5802/aif.3089
%G en
%F AIF_2017__67_2_483_0
Dal’bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea. Convergence and Counting in Infinite Measure. Annales de l'Institut Fourier, Tome 67 (2017) no. 2, pp. 483-520. doi : 10.5802/aif.3089. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.3089/

[1] Babillot, Martine; Feres, Renato; Zeghib, Abdelghani Rigidité, groupe fondamental et dynamique, Panorama et synthése., 13, Société Mathématique de France, 2002, xiv+188 pages

[2] Babillot, Martine; Peigné, Marc Homologie des géodésiques fermées sur des variétés hyperboliques avec bouts cuspidaux, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., Volume 33 (2000) no. 1, pp. 81-120 | DOI

[3] Babillot, Martine; Peigné, Marc Asymptotic laws for geodesic homology on hyperbolic manifolds with cusps, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 134 (2006) no. 1, pp. 119-163 | DOI

[4] Ballmann, Werner Lectures on spaces of nonpositive curvature, DMV Seminar, 25, Birkhäuser Verlag, 1995, 112 pages

[5] Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor Manifolds of nonpositive curvature, Progress in Mathematics, 61, Birkhäuser Verlag, 1985, iv+263 pages

[6] Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvester Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement négative, Geom. Funct. Anal., Volume 5 (1995) no. 5, pp. 731-799 | DOI

[7] Bishop, Richard L.; Crittenden, Richard J. Geometry of Manifolds, Pure and Applied Mathematics, 15, New York and London: Academic Press, 1964, ix+273 pages

[8] Bonk, Mario; Kleiener, Bruce Rigidity for quasi-Möbius group actions, J. Differ. Geom., Volume 61 (2002) no. 1, pp. 81-106 | DOI

[9] Bourdon, Marc Structure conforme au bord et flot géodésique d’un CAT (-1)-espace, Enseign. Math., Volume 41 (1995) no. 1-2, pp. 63-102

[10] Bowditch, Brian H. Geometrical finiteness with variable negative curvature, Duke Math. J., Volume 77 (1995) no. 1, pp. 229-274 | DOI

[11] Dal’Bo, Françoise; Otal, Jean-Pierre; Peigné, Marc Séries de Poincaré des groupes géométriquement finis, Isr. J. Math., Volume 118 (2000), pp. 109-124 | DOI

[12] Dal’Bo, Françoise; Peigné, Marc Groupes du Ping-Pong et géodésiques fermées en courbure -1, Ann. Inst. Fourier, Volume 46 (1996) no. 3, pp. 755-799 | DOI

[13] Dal’Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea Volume growth and rigidity of negatively curved manifolds of finite volume (preprint)

[14] Dal’Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea On the growth of nonuniform lattices in pinched negatively curved manifolds, J. Reine Angew. Math., Volume 627 (2009), pp. 31-52

[15] Dal’Bo, Françoise; Peigné, Marc; Picaud, Jean-Claude; Sambusetti, Andrea On the growth of quotients of Kleinian groups, Ergodic Theory Dyn. Syst., Volume 31 (2011) no. 3, pp. 835-851 | DOI

[16] Dal’Bo, Françoise; Peigné, Marc; Sambusetti, Andrea On the horoboundary and the geometry of rays of negatively curved manifolds, Pac. J. Math., Volume 259 (2012) no. 1, pp. 55-100 | DOI

[17] Doney, Ronald A. One-sided local large deviation and renewal theorems in the case of infinite mean, Probab. Theory Relat. Fields, Volume 107 (1997) no. 4, pp. 451-465 | DOI

[18] Eberlein, Patrick B. Geometry of Nonpositively curved manifolds, Chicago Lectures in Mathematics., University of Chicago Press, 1996, 449 pages

[19] Erickson, K. Bruce Strong renewal theorems with infinite mean, Trans. Am. Math. Soc., Volume 151 (1970), pp. 263-291 | DOI

[20] Feller, William An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, John Wiley and Sons Inc., 1971, xxiv+669 pages

[21] Gouëzel, Sébastien Correlation asymptotics from large deviations in dynamical systems with infinite measure, Colloq. Math., Volume 125 (2011) no. 2, pp. 193-212 | DOI

[22] Hamenstädt, Ursula Entropy-rigidity of locally symmetric spaces of negative curvature, Ann. Math., Volume 131 (1990) no. 1, pp. 35-51 | DOI

[23] Heintze, Ernst; Im Hof, Hans-Christoph Geometry of horospheres, J. Differ. Geom., Volume 12 (1977), pp. 481-491 | DOI

[24] Margulis, Gregory A. Applications of ergodic theory to the investigation of manifolds of negative curvature, Funkts. Anal. Prilozh., Volume 3 (1969) no. 4, pp. 89-90

[25] Peigné, Marc On some exotic Schottky groups, Discrete Contin. Dyn. Syst., Volume 31 (2011) no. 2, pp. 559-579 | DOI

[26] Pollicott, Mark; Sharp, Richard Orbit counting for some discrete groups acting on simply connected manifolds with negative curvature, Invent. math., Volume 117 (1994) no. 2, pp. 275-302 | DOI

[27] Roblin, Thomas Sur la fonction orbitale des groupes discrets en courbure négative, Ann. Inst. Fourier, Volume 52 (2002) no. 1, pp. 145-151 | DOI

[28] Roblin, Thomas Ergodicité et équidistribution en courbure négative, Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér., Volume 95 (2003), 96 pages

[29] Stadlbauer, Manuel An extension of Kesten’s criterion for amenability to topological Markov chains, Adv. Math., Volume 235 (2013), pp. 450-468 | DOI

[30] Vidotto, P. Rate of mixing, closed geodesics and orbital counting for some negatively curved manifolds with infinite Bowen-Margulis measure (in preparation)

Cité par Sources :