[Une approche de dimension finie du théorème d’approximation de Bramham]
À l’aide de la théorie des courbes pseudo-holomorphes de la géométrie symplectique, Barney Bramham a récemment montré que toute pseudo-rotation irrationnelle lisse du disque unité est limite, pour la topologie , d’une suite de difféomorphismes lisses périodiques. Nous donnons ici une preuve du résultat dans un cadre de dimension finie, valable quand la pseudo-rotation est différentiablement conjuguée à une rotation sur le bord du disque. La preuve, qui s’étend aux pseudo-rotations de classe , est basée sur l’étude dynamique du flot de gradient associé à une famille génératrice de fonctions, obtenue par la méthode des géodésiques brisées de Chaperon.
Using pseudoholomorphic curve techniques from symplectic geometry, Barney Bramham proved recently that every smooth irrational pseudo-rotation of the unit disk is the limit, for the topology, of a sequence of smooth periodic diffeomorphisms. We give here a finite dimensional proof of this result that works in the case where the pseudo-rotation is smoothly conjugate to a rotation on the boundary circle. The proof extends to pseudo rotations and is based on the dynamical study of the gradient flow associated to a generating family of functions given by Chaperon’s broken geodesics method.
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Keywords: Irrational pseudo-rotation, generating function, rotation number, dominated decomposition
Mot clés : pseudo-rotation irrationnelle, fonction gén’eratrice, nombre de rotation, décomposition dominée
Le Calvez, Patrice 1
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