no. 5
Invariants of plane curve singularities and Plücker formulas in positive characteristic
[Invariants des singularités de courbes planes et formules de Plücker en caractéristique positive]
Nguyen, Hong Duc1
1 Quang Binh University 312 Ly Thuong Kiet Dong Hoi City, Quang Binh (Vietnam)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 66 (2016) no. 5, pp. 2047-2066.

Nous étudions des invariants classiques et nouveaux des singularités de courbes planes f∈K[[x,y]] où K est un corps algébriquement clos de caractéristique p≥0. En caratéristique nulle, il est connu que κ(f)=2δ(f)-r(f)+mt(f), où κ(f),δ(f),r(f) et mt(f) respectivement, désignent l’invariant kappa, l’invariant delta, le nombre de branches et la multiplicité de f. En caractéristique arbitraire, en introduisant un nouvel invariant γ, nous prouvons dans cette note que κ(f)≥γ(f)+mt(f)-1≥2δ(f)-r(f)+mt(f) avec égalités si et seulement si la caractéristique p ne divise pas la multiplicité de chaque branche de f. Comme applications, nous obtenons des formules de Plücker pour les courbes projectives planes en caractéristique positive. Nous montrons de plus, que si la caractéristique p est “grande” par rapport à f, respectivement par rapport à une courbe irréductible C⊂ℙ 2 (c’est-à-dire, si p>κ(f), resp. p>degC(degC-1)), alors f, resp. C n’a pas de cycle évanescent sauvage.

We study classical and new invariants of plane curve singularities f∈K[[x,y]], K an algebraically closed field of characteristic p≥0. It is known, in characteristic zero, that κ(f)=2δ(f)-r(f)+mt(f), where κ(f),δ(f),r(f) and mt(f) denotes kappa invariant, delta invariant, number of branches and multiplicity of f respctively. For arbitrary characteristic, by introducing new invariant γ, we prove in this note that κ(f)≥γ(f)+mt(f)-1≥2δ(f)-r(f)+mt(f) with equalities if and only if the characteristic p does not divide the multiplicity of any branch of f. As applications we obtain some Plücker formulas for projective plane curves in positive characteristic. Moreover we show that if p is “big” for f, resp. for irreducble curve C⊂ℙ 2 (in fact, if p>κ(f), resp. p>degC(degC-1)), then f, resp. C has no wild vanishing cycle.

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DOI : 10.5802/aif.3057
Classification : 14H20, 14B05
Keywords: Invariants of plane curve singularities, Plücker formulas, wild vanishing cycles
Mot clés : Invariants des singularités de courbes planes, formules Plücker, cycle évanescent sauvage.

Nguyen, Hong Duc 1

1 Quang Binh University 312 Ly Thuong Kiet Dong Hoi City, Quang Binh (Vietnam) 
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