We study Moebius and conformal maps between boundaries of spaces equipped with visual metrics. We show that any Moebius map between boundaries of proper, geodesically complete spaces extends to a (1, log 2)-quasi-isometry between the spaces. For a conformal map between boundaries of spaces , we define a function on the space of geodesics of , called the integrated Schwarzian of , which measures the deviation of the conjugacy of geodesic flows induced by from being flip equivariant. The integrated Schwarzian vanishes identically if f is Moebius. Conversely, when is a simply connected manifold with pinched negative sectional curvatures, we obtain a formula for the cross-ratio distortion of in terms of which shows that if vanishes then is Moebius.
Nous étudions les applications conformes de Moebius entre les bords des espaces équipés avec leurs métriques visuelles. Nous démontrons qu’une application de Moebius entre les bords des espaces propres et géodésiquement complets s’étend à une (1, log 2)-quasi-isométrie. Nous définissons pour une application conforme entre les bords des espaces , une fonction , appelée le Schwarzian integrée de , qui quantifie la déviation de conjugaison des flots géodésiques induits par d’être équivariant par rapport aux flips. Le Schwarzian integré s’annule si est de Moebius. Réciproquement, si est une variété riemannienne simplement connexe à courbure , nous obtenons une formule pour la distortion du birapport par , qui montre que est de Moebius si s’annule.
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Classification: 53C24
Keywords: CAT(-1) space, cross-ratio, Moebius, conformal
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TY - JOUR TI - On Moebius and conformal maps between boundaries of ${\rm CAT}(-1)$ spaces JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 2015 DA - 2015/// SP - 1387 EP - 1422 VL - 65 IS - 3 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2961/ UR - https://doi.org/10.5802/aif.2961 DO - 10.5802/aif.2961 LA - en ID - AIF_2015__65_3_1387_0 ER -
Biswas, Kingshook. On Moebius and conformal maps between boundaries of ${\rm CAT}(-1)$ spaces. Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422. doi : 10.5802/aif.2961. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2961/
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