no. 3
On Moebius and conformal maps between boundaries of CAT (-1) spaces
Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422.

We study Moebius and conformal maps between boundaries of CAT (-1) spaces equipped with visual metrics. We show that any Moebius map between boundaries of proper, geodesically complete CAT (-1) spaces extends to a (1, log 2)-quasi-isometry between the spaces. For a conformal map f between boundaries of spaces X, Y we define a function S(f) on the space of geodesics of X, called the integrated Schwarzian of f, which measures the deviation of the conjugacy of geodesic flows induced by f from being flip equivariant. The integrated Schwarzian S(f) vanishes identically if f is Moebius. Conversely, when X is a simply connected manifold with pinched negative sectional curvatures, we obtain a formula for the cross-ratio distortion of f in terms of S(f) which shows that if S(f) vanishes then f is Moebius.

Nous étudions les applications conformes de Moebius entre les bords des espaces CAT (-1) équipés avec leurs métriques visuelles. Nous démontrons qu’une application de Moebius entre les bords des espaces CAT (-1) propres et géodésiquement complets s’étend à une (1, log 2)-quasi-isométrie. Nous définissons pour une application conforme f entre les bords des espaces X, Y une fonction S(f), appelée le Schwarzian integrée de f, qui quantifie la déviation de conjugaison des flots géodésiques induits par f d’être équivariant par rapport aux flips. Le Schwarzian integré s’annule si f est de Moebius. Réciproquement, si X est une variété riemannienne simplement connexe à courbure -b 2 ≤K≤-1, nous obtenons une formule pour la distortion du birapport par f, qui montre que f est de Moebius si S(f) s’annule.

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DOI: 10.5802/aif.2961
Classification: 53C24
Keywords: CAT(-1) space, cross-ratio, Moebius, conformal 
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Biswas, Kingshook. On Moebius and conformal maps between boundaries of ${\rm CAT}(-1)$ spaces. Annales de l'Institut Fourier, Volume 65 (2015) no. 3, pp. 1387-1422. doi : 10.5802/aif.2961. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2961/

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