Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini

Ollivier, Rachel; Sécherre, Vincent

doi:10.5802/aif.2936

Ollivier, Rachel ¹ ; Sécherre, Vincent ²

¹ Columbia University, 2990 Broadway, New York, NY 10027, USA
² Laboratoire de Mathématiques de Versailles, Université de Versailles Saint-Quentin, 45 avenue des États-Unis, 78035 Versailles Cedex, France

Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015) no. 1, pp. 397-430.

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$ , soit G le groupe des points $k$ -rationnels d’un groupe réductif connexe défini sur une clôture algébrique ${\bar{F}}_{p}$ de $k$ et U les points $k$ -rationnels du radical unipotent d’un sous-groupe de Borel B défini sur $k$ . Nous étudions le module universel C des fonctions de G dans ${\bar{F}}_{p}$ invariantes par translation par U, en tant que module sur son algèbre de G-endomorphismes H. En utilisant un résultat de Cabanes, nous prouvons que C est plat sur H si et seulement si la catégorie des H-modules de dimension finie est équivalente à celle des ${\bar{F}}_{p}$ -représentations de dimension finie de G engendrées par leurs vecteurs U-invariants. En particulier, nous étudions la platitude de C dans le cas où G $=$ GL $(n, k)$ , en fonction du cardinal de $k$ . Dans un travail ultérieur, nous montrerons comment ces résultats de platitude impliquent des résultats analogues pour le module universel de GL(3) sur un corps $p$ -adique.

Let $k$ be a finite field of characteristic $p$ , let G be the group of $k$ -rational points of a connected reductive group defined over an algebraic closure ${\bar{F}}_{p}$ of $k$ , and let U be the $k$ -rational points of the unipotent radical of a Borel subgroup B defined over $k$ . We study the universal module C of ${\bar{F}}_{p}$ -valued functions on G that are invariant under translation by U, as a module over its G-endomorphism algebra H. Using a theorem by Cabanes, we prove that C is flat over H if and only if the category of finite dimensional H-modules is equivalent to the category of finite dimensional ${\bar{F}}_{p}$ -representations of G generated by their U-invariant subspace. We study more specifically the flatness of C when G $=$ GL $(n, k)$ depending on the cardinality of $k$ . In a subsequent paper, we will focus on $n = 3$ and will show how some of these flatness results imply analogous statements for the universal module of the group GL(3) over a $p$ -adic field.

Zbl

DOI : 10.5802/aif.2936

Classification : 20C33, 20C08
Mot clés : Représentation modulaire ; Groupe réductif fini ; Algèbre de Hecke
Keywords: Modular representation; Finite reductive group; Hecke algebra

Affiliations des auteurs :

Ollivier, Rachel ¹ ; Sécherre, Vincent ²

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Ollivier, Rachel; Sécherre, Vincent. Modules universels en caractéristique naturelle pour un groupe réductif fini. Annales de l'Institut Fourier, Tome 65 (2015) no. 1, pp. 397-430. doi : 10.5802/aif.2936. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2936/

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