no. 2
The centralizer of a classical group and Bruhat-Tits buildings
[Le centralisateur d’un groupe classique et l’immeuble de Bruhat-Tits]
Skodlerack, Daniel1
1 Universität Münster Mathematisches Institut Einsteinstrasse 62 48149 Münster (Germany)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 63 (2013) no. 2, pp. 515-546.

Soit G un groupe unitaire défini sur un corps local non-Archimédien de caractéristique résiduelle impaire et soit H le centralisateur d’un élément rationnel semi-simple de l’algèbre de Lie de G. Nous démontrons qu’il existe une application affine injective H-équivariante de l’immeuble de Bruhat-Tits 𝔅 1 (H) de H vers l’immeuble de Bruhat-Tits 𝔅 1 (G) de G qui préserve les filtrations de Moy-Prasad. La dernière propriété implique l’unicité comme suit  : soient j et j ′ des applications de 𝔅 1 (H) vers 𝔅 1 (G) qui préservent les filtrations de Moy-Prasad. Nous démontrons que j et j ′ sont égales s’il n’y a pas de tore deployé dans le centre de la composante connexe de H. En général, les deux diffèrent par une translation de 𝔅 1 (H) si elles sont affines et vérifient une autre conditon faible.

Let G be a unitary group defined over a non-Archimedean local field of odd residue characteristic and let H be the centralizer of a semisimple rational Lie algebra element of G. We prove that the Bruhat-Tits building 𝔅 1 (H) of H can be affinely and G-equivariantly embedded in the Bruhat-Tits building 𝔅 1 (G) of G so that the Moy-Prasad filtrations are preserved. The latter property forces uniqueness in the following way. Let j and j ′ be maps from 𝔅 1 (H) to 𝔅 1 (G) which preserve the Moy–Prasad filtrations. We prove that if there is no split torus in the center of the connected component of H then j and j ′ are equal, and in general if both maps are affine and satisfy a mild equivariance condition they differ up to a translation of 𝔅 1 (H).

DOI : 10.5802/aif.2768
Classification : 11E57, 11E95, 14L35, 20E42, 20G25
Keywords: Building, classical group over a local field, centralizer
Mot clés : immeuble, groupe classique sur un corps local, centralisateur

Skodlerack, Daniel 1

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