Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces

Rubenthaler, Hubert

doi:10.5802/aif.2670

Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces
[Décomposition des espaces préhomogènes réductifs réguliers]

Rubenthaler, Hubert ¹

¹ Université de Strasbourg et CNRS Institut de Recherche Mathématique Avancée 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2183-2218.

Résumé
Abstract

Soit $(G, V)$ un espace préhomogène (en abrégé $P V$ ) régulier, où $G$ est un groupe algébrique réductif, défini sur $ℂ$ . Si $V = \oplus_{i = 1}^{n} V_{i}$ est une décomposition de $V$ en représentations irréductibles, alors, en général, les espaces préhomogènes $(G, V_{i})$ ne sont pas réguliers. Dans cet article nous introduisons la notion de $P V$ quasi-irréductible (en abrégé $Q$ -irréducible), et nous montrons d’abord que pour les $P V$ complètement $Q$ -réductibles, les composantes $Q$ -isotypiques sont définies de manière intrinsèque, comme en théorie ordinaire des représentations. Nous montrons également que, dans un sens approprié, tout $P V$ régulier est une somme directe de $P V$ quasi-irréductibles. Finalement nous classifions les $P V$ de type parabolique qui sont $Q$ -irréductibles.

Let $(G, V)$ be a regular prehomogeneous vector space (abbreviated to $P V$ ), where $G$ is a reductive algebraic group over $ℂ$ . If $V = \oplus_{i = 1}^{n} V_{i}$ is a decomposition of $V$ into irreducible representations, then, in general, the PV’s $(G, V_{i})$ are no longer regular. In this paper we introduce the notion of quasi-irreducible $P V$ (abbreviated to $Q$ -irreducible), and show first that for completely $Q$ -reducible $P V$ ’s, the $Q$ -isotypic components are intrinsically defined, as in ordinary representation theory. We also show that, in an appropriate sense, any regular PV is a direct sum of $Q$ -irreducible $P V$ ’s. Finally we classify the $Q$ -irreducible PV’s of parabolic type.

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.2670

Classification : 11S90, 20G05, 17B20
Keywords: reductive groups, prehomogeneous vector spaces, relative invariants, prehomogeneous vector spaces of parabolic type
Mot clés : Groupes réductifs, espaces préhomogènes, invariants relatifs, espaces préhomogènes de type parabolique

Affiliations des auteurs :

Rubenthaler, Hubert ¹

¹ Université de Strasbourg et CNRS Institut de Recherche Mathématique Avancée 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)

@article{AIF_2011__61_5_2183_0,
     author = {Rubenthaler, Hubert},
     title = {Decomposition of reductive regular {Prehomogeneous} {Vector} {Spaces}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {2183--2218},
     publisher = {Association des Annales de l{\textquoteright}institut Fourier},
     volume = {61},
     number = {5},
     year = {2011},
     doi = {10.5802/aif.2670},
     mrnumber = {2961852},
     zbl = {1250.11100},
     language = {en},
     url = {https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2670/}
}

TY  - JOUR
AU  - Rubenthaler, Hubert
TI  - Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2011
SP  - 2183
EP  - 2218
VL  - 61
IS  - 5
PB  - Association des Annales de l’institut Fourier
UR  - https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2670/
DO  - 10.5802/aif.2670
LA  - en
ID  - AIF_2011__61_5_2183_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Rubenthaler, Hubert
%T Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 2011
%P 2183-2218
%V 61
%N 5
%I Association des Annales de l’institut Fourier
%U https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2670/
%R 10.5802/aif.2670
%G en
%F AIF_2011__61_5_2183_0

Rubenthaler, Hubert. Decomposition of reductive regular Prehomogeneous Vector Spaces. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2183-2218. doi : 10.5802/aif.2670. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2670/

Bibliographie
Cité par

[1] Bopp, Nicole; Rubenthaler, Hubert Local zeta functions attached to the minimal spherical series for a class of symmetric spaces, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 174 (2005) no. 821, pp. viii+233 | MR | Zbl

[2] Dynkin, E. B. Semi-simple subalgebras of semi-simple Lie algebras, Amer. Math. Soc. Transl., Volume 6 (1957), pp. 111-224 | Zbl

[3] Kimura, Tatsuo A classification of prehomogeneous vector spaces of simple algebraic groups with scalar multiplications, J. Algebra, Volume 83 (1983) no. 1, pp. 72-100 | DOI | MR | Zbl

[4] Kimura, Tatsuo Introduction to prehomogeneous vector spaces, Translations of Mathematical Monographs, 215, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 (Translated from the 1998 Japanese original by Makoto Nagura and Tsuyoshi Niitani and revised by the author) | MR | Zbl

[5] Kimura, Tatsuo; Kasai, S.; Hosokawa, H. Universal transitivity of simple and $2$ -simple prehomogeneous vector spaces, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 38 (1988) no. 2, pp. 11-41 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[6] Kimura, Tatsuo; Kasai, Shin-ichi; Inuzuka, Masaaki; Yasukura, Osami A classification of $2$ -simple prehomogeneous vector spaces of type $I$ , J. Algebra, Volume 114 (1988) no. 2, pp. 369-400 | DOI | MR | Zbl

[7] Kimura, Tatsuo; Kasai, Shin-ichi; Taguchi, Masanobu; Inuzuka, Masaaki Some P.V.-equivalences and a classification of $2$ -simple prehomogeneous vector spaces of type $II$ , Trans. Amer. Math. Soc., Volume 308 (1988) no. 2, pp. 433-494 | DOI | MR | Zbl

[8] Mortajine, A. Classification des espaces préhomogènes de type parabolique réguliers et de leurs invariants relatifs, Travaux en Cours [Works in Progress], 40, Hermann, Paris, 1991 | MR | Zbl

[9] Rubenthaler, Hubert Espaces vectoriels préhomogènes, sous-groupes paraboliques et $𝔰 𝔩_{2}$ -triplets, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 290 (1980) no. 3, p. A127-A129 | MR | Zbl

[10] Rubenthaler, Hubert Espaces préhomogènes de type parabolique, Lectures on harmonic analysis on Lie groups and related topics (Strasbourg, 1979) (Lectures in Math.), Volume 14, Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1982, pp. 189-221 | MR | Zbl

[11] Rubenthaler, Hubert Espaces préhomogènes de type parabolique, Université de Strasbourg, 1982 (Thèse d’État) | MR | Zbl

[12] Rubenthaler, Hubert Algèbres de Lie et espaces préhomogènes, Travaux en Cours [Works in Progress], 44, Hermann Éditeurs des Sciences et des Arts, Paris, 1992 (With a foreword by Jean-Michel Lemaire) | MR | Zbl

[13] Saito, Hiroshi Convergence of the zeta functions of prehomogeneous vector spaces, Nagoya Math. J., Volume 170 (2003), pp. 1-31 http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.nmj/1114631874 | DOI | MR | Zbl

[14] Sato, Fumihiro Zeta functions in several variables associated with prehomogeneous vector spaces. III. Eisenstein series for indefinite quadratic forms, Ann. of Math. (2), Volume 116 (1982) no. 1, pp. 77-99 | DOI | MR | Zbl

[15] Sato, Fumihiro Zeta functions with polynomial coefficients associated with prehomogeneous vector spaces, Comment. Math. Univ. St. Paul., Volume 45 (1996) no. 2, pp. 177-211 | MR | Zbl

[16] Sato, Mikio Theory of prehomogeneous vector spaces (algebraic part)—the English translation of Sato’s lecture from Shintani’s note, Nagoya Math. J., Volume 120 (1990), pp. 1-34 http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.nmj/1118782193 (Notes by Takuro Shintani, Translated from the Japanese by Masakazu Muro) | MR | Zbl

[17] Sato, Mikio; Kimura, Tatsuo A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their relative invariants, Nagoya Math. J., Volume 65 (1977), pp. 1-155 | MR | Zbl

[18] Sato, Mikio; Shintani, Takuro On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces, Ann. of Math. (2), Volume 100 (1974), pp. 131-170 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :

ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

ARTICLES À PARAÎTRE

FEUILLETER

PRESENTATION

COMITÉ DE RÉDACTION

SOUMETTRE UN ARTICLE

ABONNEMENT