[Hilbert geometries have bounded local geometry]
We prove that the Hilbert geometry of a convex domain in has bounded local geometry, i.e., for a given radius, all balls are bilipschitz to a euclidean domain of . As a consequence, if the Hilbert geometry is also Gromov hyperbolic, then the bottom of its spectrum is strictly positive. We also give a counter exemple in dimension three wich shows that the reciprocal is not true for non plane Hilbert geometries.
On montre que la géométrie de Hilbert d’un domaine convexe de est à géométrie locale bornée c-à-d que pour un rayon fixé, toutes les boules sont bilipschitz à un domaine de euclidien. On en déduit que si la géométrie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre que la réciproque n’est pas vraie pour les géométries de Hilbert non planes.
Mot clés : géométrie de Hilbert, hyperbolicité, bas du spectre
Keywords: Hilbert Geometries, hyperbolicity, bottom of the spectrum, local geometry
Colbois, Bruno 1; Vernicos, Constantin 1
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Colbois, Bruno; Vernicos, Constantin. Les géométries de Hilbert sont à géométrie locale bornée. Annales de l'Institut Fourier, Volume 57 (2007) no. 4, pp. 1359-1375. doi : 10.5802/aif.2297. https://aif.centre-mersenne.org/articles/10.5802/aif.2297/
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Cited by Sources: